1. В урне 14 билетов. Из них 5 выигрышных. Какова вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным.

Решение:

Искомая вероятность равна отношению исходов, благоприятных событию «Вынутый билет выигрышный» к числу всех возможных событий, т.е. 5/14=0.357 или 35,7%.

2. Биатлонист стреляет в мишень. Мишень – круг радиуса 9 см. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 1. Попадание в любую точку мишени равновероятно. Необходимо попасть в круг радиуса 5 см.

Решение:

Согласно определению геометрической вероятность попадания в круг радиуса 5 см равна 5/9=0,556, или 55,6%.

3. Имеется собрание сочинений из 7 томов некоторого автора. Все 7 томов расставляются на книжной полке случайным образом. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Решение:

В том и в другом случае ответ будет одинаков, поэтому рассмотрим только случай расположения в порядке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Том №1 на первом месте оказывается с вероятностью 1/7; при условии, что первый том занял место №1, второй том занимает место №2 с вероятностью 1/6; аналогично при условии, что тома №1 и №2 заняли соответственно места №1 и №2, третий том занимает место №3 с вероятностью 1/5 и т.д. Тогда, по теореме о произведении вероятностей независимых событий, тома располагаются в порядке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 с вероятностью

.

4. Имеется собрание сочинений из 9 томов некоего автора. На верхней полке умещается только 6 томов. Это тома берут из 9 томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, …, 7 или 7, 6, …, 1?

Решение:

Найдем вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, …, 7.

Первой поставленной книгой должен быть только первый том, т.е. общее число исходов – 9, а число благоприятных исходов – 1. Следовательно вероятность того, что первый том окажется на первом месте равна 1/9.

Аналогично получим, что вероятность того, что второй том будет стоять на втором месте равна 1/8, что третий том будет стоять на третьем месте – 1/7 и т.д.

Вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, …, 7 будет равна

.

Аналогично найдем вероятность того, что тома расположатся в порядке 7, 6, …, 1.

Проведя аналогичные рассуждения получим, что P2=P1.

Искомая вероятность равна .

5. Имеется собрание сочинений из 9 томов некоего автора. На верхней полке умещается только 7 томов. Это тома берут из 9 томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Какова вероятность, что для размещения на полке будут выбраны тома 1, 2, …, 7?

Решение:

Вероятность того, что первый наугад выбраны том попадет в число нужных равна 7/9. Для второго тома эта вероятность равна 6/8, для третьего 5/7 и т.д. В итоге получим:

.

6. Три стрелка стреляют по мишени. Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и вероятности попадания стрелков в мишень равны 0,4; 0,3; 0,2. Какова вероятность того, что:

а) все три выстрела окажутся успешными;

б) хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным;

в) точно один выстрел окажется успешным?

Решение:

а) По теореме о произведении вероятностей независимых событий искомая вероятность 0,4·0,3·0,2=0,024.

б) Заметим, что если первый выстрел оказывается успешным с вероятностью 0,4, то этот выстрел оказывается неуспешным с вероятностью (1–0,4). Событий «хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным» предполагает, что точно какой-нибудь один из трех выстрелов успешен (два остальных неуспешны), либо только каких-нибудь два из трех выстрелов успешны (один неуспешен), либо все три успешны. Тогда, по теореме о сумме независимых событий искомая вероятность равна

[0,4·(1-0,3)·(1-0,2)+ (1-0,4)·0,3·(1-0,2)+ (1-0,4)·(1-0,3)·0,2] + [0,4·0,3·(1-0,2)+ (1-0,4)·0,3·0,2+ +0,4·(1-0,3)·0,2] + [0,4·0,3·0,2] = 0,452 + 0,188 + 0,024 = 0,664.

в) 0,4·(1-0,3)·(1-0,2)+ (1-0,4)·0,3·(1-0,2)+ (1-0,4)·(1-0,3)·0,2 = 0,452.

7. Идет охота на волка. В охоте участвуют 4 охотника. Вероятность выхода волка на первого охотника – 0,3; на второго – 0,2; на третьего – 0,1; на четвертого – 0,4. Вероятность убийства волка первым охотником, если волк вышел на него – 0,8. Вероятность убийства волка вторым охотником, если волк вышел на него – 0,7. Вероятность убийства волка третьим охотником, если волк вышел на него – 0,6. Вероятность убийства волка четвертым охотником, если волк вышел на него – 0,9. Какова вероятность убийства волка?

Решение:

По формуле полной вероятности искомая вероятность

Р = 0,3·0,8 + 0,2·0,7 + 0,1·0,6 + 0,4·0,9 = 0,8.

8. 14% всех мужчин и 5% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина. Число мужчин и женщин считается одинаковым.

Решение:

Введем следующие обозначения событий:

A1 – выбранный человек – мужчина.

A2 – выбранный человек – женщина.

B – выбранный человек – дальтоник.

Во введенных обозначениях получим: P(A1)=0,5; P(A2)=0,5; P(B/A1)=0,14; P(B/A2)=0,05.

По формуле полной вероятности получим, что вероятность того, что выбранный человек окажется дальтоником, равна:

P(B)=P(A1)•P(B/A1)+ P(A2)•P(B/A2)=0,5•0,14+0,5•0,05=0,07+0,025=0,095.

Искомую вероятность найдем по формуле Байеса.

9. Случайная величина X задана рядом распределения.

X

–3

0

1

4