ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМЕТРИКИ 3
2. ПОСТРОЕНИЕ ПАРНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ 4
3. ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ. 6
4. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ. РЯД ФУРЬЕ. 8
5. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ 11
ЛИТЕРАТУРА 13
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМЕТРИКИ
Задание.
1. Определите, на какой диаграмме показаны временные данные, а на какой пространственные.
2. Дайте определение регрессии.
3. Определите виды регрессий:
.
Покажите, где здесь результирующая и объясняющие переменные. Что обозначает е в уравнениях регрессии?
Решение.
1. На рис. 1 показаны временные данные, на рис.2 – пространственные.
2. Регрессия - односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами.
3. - это множественная линейная регрессия, у - результирующая, х1, х2, х3 - объясняющие переменные, е - ошибка регрессии.
- это множественная гиперболическая регрессия, у - результирующая, х1, х2, х3, х4 - объясняющие переменные, е - ошибка регрессии.
- это простая экспоненциальная регрессия, у - результирующая, х – объясняющая переменная, е - ошибка регрессии.
2. ПОСТРОЕНИЕ ПАРНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ
Задание.
1. Дайте определение парной регрессии.
2. По Российской Федерации за 2001 год известны значения двух признаков (см. табл. 1).
Таблица 1
Месяц
Расходы на покупку продо- вольственных товаров в общих расходах, %, (у)
Средний денежный доход на душу населения, руб., (х)
Январь
69
1964,7
Февраль
65,6
2292,0
Март
60,7
2545,8
Апрель
...
...
Май
...
...
Июнь
...
...
Июль
...
...
Август
...
...
Сентябрь
...
...
Октябрь
53,3
3042,8
Ноябрь
50,9
3107,2
Декабрь
47.5
4024,7
Для оценки зависимости у от х построена парная линейная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:
у=а+bх+е, где а = 194/4 = 48,5, b = -1/194=0,005.
Парный коэффициент корреляции rxy = -1/194 х 78 = -78/194 = -39/97=-0,402
Средняя ошибка аппроксимации .
Известно, что , а .
Определите коэффициент детерминации. Оцените линейную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.
Решение.
1. Парная регрессия - уравнение связи между двумя переменными у и х.
2. Так как а = 194/4 = 48,5, b = -1/194, получим уравнение регрессии
у=48,5-0,005х+е,
Значит, с увеличением среднего денежного дохода на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,005 %.
Линейный коэффициент парной корреляции - 0,402 (связь умеренная, обратная).
Найдем коэффициент детерминации, . Вариация результата на 16,2 % объясняется вариацией фактора х.
Средняя ошибка аппроксимации А = 8,817, что говорит о допустимой ошибке аппроксимации. В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,817 %.
Проверяем F-критерий Фишера. Для этого сравним и .< (4,96 < 102), значит Н0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 0,95.
Вывод. Линейная парная модель не очень хорошо описывает изучаемую закономерность.
3. ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ.
Задание.
1. В табл. 2 приведены данные, формирующие цену на строящиеся квартиры в двух различных районах.
Таблица 2
Район,
а/б
Жилая
площадь,
м2
Площадь
кухни, м2
Этаж, сред-
ние/крайние
Дом, кир-
пич./панел.
Срок сдачи,
через сколько
мес.
Стоимость
квартиры,
тыс.дол.
1
17,5
8
1
1
6
17,7
1
20
8,2
1
2
1
31,2
2
23,5
11,5
2
2
9
13,6
…
…
…
…
…
…
…
1
77
17
2
1
1
56,6
2
150,5
30
2
2
2
139,2
2
167
31
2
1
5
141,5
Имеется шесть факторов, которые могут оказывать влияние на цену строящегося жилья:
1) район, где расположена строящаяся квартира (а или б);
2) жилая площадь квартиры;
3) площадь кухни;
4) этаж (средний или крайний);
5) тип дома (панельный или кирпичный);
6) срок сдачи квартиры (через сколько месяцев).
Определите минимальный объем выборки Nmin.
Для оценки зависимости у от х построена линейная множественная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов
,
где
Какие фиктивные переменные были использованы в модели?
Дайте экономическую интерпретацию полученной модели.
Решение.
Найдем минимальный объем выборки Nmin . Число факторов, включаемых в модель, т = 6, а число свободных членов в уравнении п = 1. Тогда
Nmin = 5(6+1)=35.
Получаем уравнение регрессии
у= -16,87 – 24,25х1 + 0,795х2 + 0,095х3 + 22,8х4 + 23,28х5 - 0,395х6 + е.
Фиктивными переменными являются х1, х4, х5, так как они соответствуют качественным признакам.
Экономическая интерпретация полученной модели: квартиры в районе а стоят на 24,25 % дешевле, чем в районе б. При увеличении жилой площади на 1 % стоимость квартиры возрастает на 0,795%. При увеличении площади кухни на 1 % стоимость квартиры увеличивается на 0,095%. Квартиры на средних этажах стоят на 22,8 % дороже, чем на крайних. Квартиры в кирпичных домах стоят на 23,28 % дороже, чем в панельных. При увеличении срока сдачи дома на 1% стоимость квартиры уменьшается на 0,395 %.
4. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ. РЯД ФУРЬЕ.
Задание.
Постройте модель сезонных колебаний дохода торгового предприятия, используя первую гармонику ряда Фурье по данным, приведенным в табл. 3, изобразите графически.
Таблица 3
Месяц
Доход, тыс. руб.
Январь
58,33+112ґ(1/a)
Февраль
52+112ґ(1/a)
Март
43,67+112ґ(1/a)
Апрель
41,02+112ґ(1/a)
Май
42,77+112ґ(1/a)
Июнь
50,01+112ґ(1/a)
Июль
56,6+112ґ(1/a)
Август
64,74+112ґ(1/a)
Сентябрь
71,04+112ґ(1/a)
Октябрь
73,54+112ґ(1/a)
Ноябрь
72,16+112ґ(1/a)
Декабрь
66,3+112ґ(1/a)
Воспользуйтесь вспомогательной табл. 4.
Таблица 4
t
cos t
sin t
0
1,00
0,00
0,523599
0,87
0,50
1,047198
0,50
0,87
1,570796
0,00
1,00
2,094395
-0,50
,0,87
2,617994
-0,87
0,50
3,141593
-1,00
0,00
3,665191
-0,87
-0,50
4,18879
-0,50
-0,87
4,712389
0,00
-1,00
5,235988
0,50
-0,87
5,759587
0,87
-0,50
Решение.
Для a = 194 исходная таблица будет выглядеть следующим образом:
Таблица 5
Месяц
Периоды,
Доход,тыс.руб.
Январь
0
58,91
Февраль
0,5236
52,58
Март
1,0471
44,25
Апрель
1,5707
41,6
Май
2,0943
43,35
Июнь
2,618
50,59
Июль
3,1416
57,18
Август
3,6652
65,32
Сентябрь
4,1888
71,62
Октябрь
4,7124
74,12
Ноябрь
5,236
72,74
Декабрь
5,7596
66,88
Если мы рассматриваем год как цикл, то п =12. Параметры уравнения могут быть найдены по формулам:
Получили а0 = 58,26. Найдем промежуточные значения (табл. 6).
Таблица 6
Месяц
Периоды, t
Доход,тыс.руб.
уґсоs t
уґsin t
Январь
0
58,91
58,91
0
Февраль
0,5236
52,58
45,7446
26,29
Март
1,0471
44,25
22,125
38,4975
Апрель
1,5707
41,6
0
41,6
Май
2,0943
43,35
-21,675
37,7145
Июнь
2,618
50,59
-44,013
25,295
Июль
3,1416
57,18
-57,18
0
Август
3,6652
65,32
-56,828
-32,66
Сентябрь
4,1888
71,62
-35,81
-62,309
Октябрь
4,7124
74,12
0
-74,12
Ноябрь
5,236
72,74
36,37
-63,284
Декабрь
5,7596
66,88
58,1856
-33,44
Получаем: .
Найдем коэффициенты:
Получили yt = 58,26 + 0,97ґсоs t - 16,07ґsin t. Подставим фактические значения t в полученную первую гармонику ряда Фурье.
Таблица 7
Месяц
Периоды, t
yt
Январь
0
59,2331
Февраль
0,5236
51,0721
Март
1,0471
44,7670
Апрель
1,5707
42,1923
Май
2,0943
43,7956
Июнь
2,618
49,3819
Июль
3,1416
57,2903
Август
3,6652
65,4512
Сентябрь
4,1888
71,7563
Октябрь
4,7124
74,3310
Ноябрь
5,236
72,7277
Декабрь
5,7596
67,1415
Строим график исходных данных и первой гармоники ряда Фурье
Рис. 3. Первая гармоника ряда Фурье
5. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
Задание.
В торгово-розничную сеть поступило 3 вида взаимозаменяемой продукции разных производителей: А1, А2, АЗ. Предположим, что покупатели приобретают продукцию только одного из них. Пусть в среднем они стремятся поменять её не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны.
Результаты маркетинговых исследований покупательского спроса на продукцию дали следующее процентное соотношение:
X1 % покупателей продукции А1 переходит на продукцию А2,
Х2 % покупателей продукции А2 - на продукцию АЗ,
ХЗ % покупателей продукции АЗ - на продукцию А1,
где .
Требуется:
1. Построить граф состояний.
2. Составить матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений.
3. Предположить, что общее число покупателей постоянно, и определить, какая доля из их числа будет покупать продукцию А1, А2 и АЗ через 2 года.
4. Определить какая продукция будет пользоваться наибольшим спросом.
Решение.
Для a =194 получаем: X1 = (194 - 90):3 = 34,7; Х2 = (315 – 194):5 = 24,2; ХЗ = (194 - 90):4 = 26.
Построим граф состояний:
Составим матрицу переходных вероятностей:
Зададим вектор начальных вероятностей:
.
Определим вероятности состояния Рi(к) после первого шага (после первого года):
Р1(1) = Р1(0)Р11 +Р2(0)ЧР21 +Р3(0)ЧР31 =1Ч0,653+1Ч0+1Ч0,26 = 0,913;
Р2(1)= Р1(0)Р12 +Р2(0)ЧР22 +Р3(0)ЧР32 =1Ч0,347+1Ч0,758 +1Ч0 =1,105;
Рз(1) = Р1(0)Р13 +Р2(0)ЧР23 +Р3(0)ЧР33 =1Ч0+1Ч0,242+1Ч0,74 = 0,982.
Определим вероятности состояний после второго шага (после второго года):
Р1(2)=Р1(1)Р11 +Р2(1)ЧР21 +Р3(1)ЧР31 = 0,913Ч0,653+1,105Ч0+0,982Ч0,26 = 0,852;
Р2(2)=Р1(1)Р12 +Р2(1)ЧР22 +Р3(1)ЧР32 =0,913Ч0,347+1,105Ч0,758+0,982Ч0 = 1,154;
Р3(2) = Р1(1)Р13 +Р2(1)ЧР23 +Р3(1)ЧР33 = 0,913Ч0+1,105Ч0,242+0,982Ч0,74 = 0,99.
Вывод. Через 2 года 85% покупателей будут приобретать продукцию А1, 99% покупателей - АЗ, число покупателей продукции А2 увеличится почти в 1,2 раза.
Продукция А2 будет пользоваться наибольшим спросом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. -М.: ЮНИТИ, 1998.
2. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы модели-рования экономических систем. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 368 с.
3. Елисеева И. И. и др. Практикум по эконометрике. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 192 с.
4. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 2000. - 400 с.
5. Маленво Э. Статистические методы эконометрики. - М.: Статистика, 1975. - Т. 1; 1976. - Т. 2.