12. График погашения кредита предполагал ежемесячную выплату заемщиком 1 млн. руб. в течение 8 месяцев (1-й платеж – через месяц после получения кредита, второй – через 2 месяца и т.д.). После совершения 5 платежей заемщик решил рассчитаться с кредитором досрочно – по истечении 6-го месяца полностью погасить остаток долга. Сколько он должен будет заплатить кредитору по истечении 6-го месяца при условии, что фактические платежи будут финансово эквивалентными первоначальным обязательствам, а для соизмерения денежным сумм во времени используется годовая эффективная ставка 25%?

Решение.

Необходимо найти сумму платежа, эквивалентного восьми платежам по 1000000 рублей с перерывом 1 месяц между платежами при годовой эффективной ставке 25%:

=1000000·=

=20255229,95 руб.

Также найдем сумму, эквивалентную пяти платежам по 1000000 рублей с перерывом 1 месяц между платежами при годовой эффективной ставке 25%:

=1000000·=

=8378011,068 руб.

Искомая сумма составит:

20255229,95 – 8378011,068 = 11877218,88 руб.

13. Кредиты на 2 месяца выдаются, исходя из расчетной ставки 22% годовых. Исходя из какой расчетной ставки должны выдаваться кредиты на 6 месяцев, чтобы годовая эффективная ставка процента по таким кредитам была такой же, как и по кредитам на 2 месяца?

Решение.

Рассчитаем сумму Р возврата для суммы кредита S при расчетной ставке 22%.

P=S·(1+0,22·2/12) = S·1,037.

Определим годовую эффективную ставку процентов, при которой прирост средств за 6 месяцев будет такой же.

P=S· (1+х)6/12 = S·1,013, где х – искомая процентная ставка.

(1+х)1/2=1,037.

ln(1+х)=2·ln(1,036)

ln(1+х)=0,035

1+х==1,0356

х=0,0356, т.е. 3,56%

Определим прирост средств за 1 месяц при вычисленной эффективной ставке:

(1+0,0356)1/12=1,003.

Вычислим расчетную ставку, при которой будет такой же прирост.

1+х·1/12=1,003.

х=0,036, т.е. 3,6%.

14. Фирме Х была предоставлена кредитная линия на 1 млн. рублей – в течение 6 месяцев по 1-м числам она брала в банке по 200 тыс. руб. Погашение долга предусматривалось единовременным платежом ровно через 5 месяцев после получения последних 200 тысяч. Сколько должна вернуть фирма банку, если для соизмерения денежных сумм во времени используется годовая эффективная ставка 13%.

Решение.

После получения последнего кредита задолженность фирмы перед банком составляла:

200000·FVIFA13%/12;5·(1+0.13/12)=2000000·5,109·1,0108=1032835,44 руб.

После 5 месяцев задолженность составит

1032835,44·(1+0,13/12)5=1032835,44·1,05518=1089827,3 руб.

15. Единовременно полученный кредит сроком на 3 года погашался в течение этого срока ежемесячно равными суммами. Для соизмерения денежных сумм во времени использовалась годовая эффективная ставка R. После завершения последнего, 36-го платежа, заемщик обнаружил, что в сумме он заплатил банку ровно в 1,5 раза больше, чем брал у него взаймы. Каково было значение годовой эффективной ставки?

Решение.

Обозначим S сумму взятого кредита. За год было отдано 0,5S.

PVIFAR;3=2.

Подбором находим R=23,4%.

16. Облигации внутреннего выигрышного займа выпущены на следующих условиях. Всего облигаций 20 млн. штук, срок погашения – через 10 лет. Ежегодно в конце каждого календарного квартала проводится тираж, в результате которого 20000 облигаций выигрывают. Выигравшие облигации в дальнейших тиражах не участвуют. Определите вероятность выигрыша в первых трех тиражах хотя бы одной облигации для человека, купившего 20 облигаций.

Решение.

Рассчитаем вероятность того, что в трех тиражах ни одна из 20 акций не выиграла. Тогда искомая вероятность будет равна 1 минус найденная вероятность.

Возьмем первый тираж. Вероятность выигрыша каждой конкретной акции составляет 1/1000. Вероятность не выигрыша каждой конкретной акции 999/1000. Вероятность того, что ни одна из 20 облигаций не выиграет равна . Аналогично для второго тиража получим вероятность того, что ни одна из 20 облигаций не выиграет , т.к. выигравшие в первом тираже акции в дальнейших тиражах не участвуют. Из тех же соображений для третьего тиража получим вероятность того, что ни одна из 20 облигаций не выиграет . Для того, что бы акция не выиграла ни в одном из трех тиражей эти события должны произойти одновременно, т.е. для нахождения этой вероятности необходимо перемножить все три найденных значения. В итоге получим вероятность того, что ни одна акция из 20 не выиграет в первых трех тиражах =0,94168.

Вероятность того, что хотя бы одна из 20 акций выиграет в первых трех тиражах равна 1–0,94168=0,05832, т.е. 5,832%.

17. Определите стартовую формальную рыночную цену купонной облигации (всего купона) номиналом 1 млн. руб., погашаемой через 1 год, по