Контрольная работа № 1.

Задача 4. Даны вершины A(5;–1), B(–3;5), C(1;7) треугольника. Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны AB;

2) внутренний угол A в радианах с точностью до 0.01;

3) уравнение высоты, проходящей через вершину С;

4) уравнение медианы, проведенной через вершину B;

5) точку пересечения медианы BE и высоты CD;

6) длину высоты, проведенной через вершину C.

Решение.

1) Длина стороны AB.

2) внутренний угол A в радианах с точностью до 0.01;

= = =

3) уравнение высоты, проходящей через вершину С;

D – точка пересечения высоты, проведенной через вершину С и стороны AB.

Уравнение высоты CD.

3y–21=4x–4

4x–3y+17=0

4) уравнение медианы, проведенной через вершину B;

Середина стороны AC – точка E(3;3).

Уравнение медианы BE.

–2x–6=6y–30

2x+6y–24=0

x+3y–12=0

5) точку пересечения медианы BE и высоты CD;

Найдем координаты точки K – пересечения высоты CD и медианы BE.

5x+5=0

x=–1

–1+3y–12=0

3y=13

6) длину высоты, проведенной через вершину C.

Уравнение высоты CD.

4x–3y+17=0

Уравнение стороны AB.

6x–30=–8y–8

6x+8y–22=0

3x+4y–11=0

Найдем координаты точки D – пересечения высоты CD и стороны AB.

25x+35=0

x=–1.4

–4.2+4y–11=0

4y=15.2

y=3.8

D(–1.4;3.8)

Длина высоты CD.

= =

Задача 14. Найти уравнение линии как геометрического места точек и построить эту линию. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки F(–2;0) и до прямой X=–10 равно .

Решение.

Расстояние от точки с координатами (x;y) до точки F с координатами (–2;0) будет равно

Расстояние от точки с координатами (x;y) до прямой x=–10 равно x+10.

4x2+5y2=80

Эллипс.

Задача 32. Найти производные заданных функций.

а)

= =

в)

= =

47. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=x3–14x2+60x–72 и построить ее график.

Решение.

y(0)=–72

x3–14x2+60x–72=(x–6)2(x–2)

Область определения функции – вся числовая прямая.