Задание 1.
Вариант 8.
Дано: n=32 выборочных значений c величины X > N(a,у) – таблица.
Требуется:
1. Построить гистограмму и полигон приведенных частот (число интервалов k выбрать согласно формуле ).
2. Найти оценки , асимметрия a, эксцесс e.
3. Для параметров a, у найти доверительные интервалы с надежностью 0.95.
4. Сравнить выборочные характеристики с соответствующими кривыми нормального распределения, для чего написать выражения для оценок функций и построить графики этих функций по точкам.
5. Найти эмпирическую функцию распределения Fn(x) и построить ее график на одном чертеже с графиком функции .
6. По величине асимметрии a и эксцессу e сделать заключение (предварительное) о нормальности распределения c величины X.
7. Проверить с помощью Критерия ч2 (хи-квадрат) гипотезу о нормальности распределения генеральной совокупности. Уровень значимости выбрать б=0.05
Исходные данные.
0.041
–0.307
0.121
0.790
-0.584
0.541
0.484
–0.986
–1.132
–2.098
0.921
0.145
0.446
–1.661
1.045
–1.363
0.768
0.079
–1.473
0.034
–2.127
0.665
0.084
–0.880
0.375
–1.658
–0.851
0.234
–0.656
0.340
–0.086
–0.158
Решение.
1. Число интервалов равно 1.72 = 5.46 ? 5.
Границы интервалов и число попавших в них значений.
1-й интервал: (-2.127;-1.4926) – 4
2-й интервал: (-1.4926;-0.8582) – 5
3-й интервал: (-0.8582;-0.2238) – 4
4-й интервал: (-0.2238;0.4106) – 11
5-й интервал: (0.4106;1.045) – 8
2. = (0.041- 0.307+ 0.121+ 0.79- 0.584+ 0.541+ 0.484- 0.986- 1.132- 2.098+ 0.921+ 0.145+ 0.446- 1.661+ 1.045- 1.363+ 0.768+ 0.079- 1.473+ 0.034- 2.127+ 0.665+ 0.084- 0.88+ 0.375- 1.658- 0.851+ 0.234- 0.656+ 0.34- 0.086- 0.158)/32=–0.2782
= ((0.041+0.2782)2+ (-0.307+0.2782)2+ (0.121+0.2782)2+ (0.79+0.2782)2+ (-0.584+0.2782)2+ (0.541+0.2782)2+ (0.484+0.2782)2+ (-0.986+0.2782)2+ (-1.132+0.2782)2+ (-2.098+0.2782)2+ (0.921+0.2782)2+ (0.145+0.2782)2+ (0.446+0.2782)2+ (-1.661+0.2782)2+ (1.045+0.2782)2+ (-1.363+0.2782)2+ (0.768+0.2782)2+ (0.079+0.2782)2+ (-1.473+0.2782)2+ (0.034+0.2782)2+ (-2.127+0.2782)2+ (0.665+0.2782)2+ (0.084+0.2782)2+ (-0.88+0.2782)2+ (0.375+0.2782)2+ (-1.658+0.2782)2+ (-0.851+0.2782)2+ (0.234+0.2782)2+ (-0.656+0.2782)2+ (0.34+0.2782)2+ (-0.086+0.2782)2+ (-0.158+0.2782)2)/32 = (0.101889+ 0.000829+ 0.159361+ 1.141051+ 0.093514+ 0.671089+ 0.580949+ 0.500981+ 0.728974+ 3.311672+ 1.438081+ 0.179098+ 0.524466+ 1.912136+ 1.750858+ 1.176791+ 1.094534+ 0.127592+ 1.427547+ 0.097469+ 3.418061+ 0.889626+ 0.131189+ 0.362163+ 0.42667+ 1.903848+ 0.3281+ 0.262349+ 0.142733+ 0.382171+ 0.036941+ 0.014448)/32 = 0.7912
Найдем центральные моменты выборки.
Момент второго порядка – это дисперсия.
м2 = = 0.7912
Момент третьего порядка.
м3 = ((0.041+0.2782)3+ (-0.307+0.2782)3+ (0.121+0.2782)3+ (0.79+0.2782)3+ (-0.584+0.2782)3+ (0.541+0.2782)3+ (0.484+0.2782)3+ (-0.986+0.2782)3+ (-1.132+0.2782)3+ (-2.098+0.2782)3+ (0.921+0.2782)3+ (0.145+0.2782)3+ (0.446+0.2782)3+ (-1.661+0.2782)3+ (1.045+0.2782)3+ (-1.363+0.2782)3+ (0.768+0.2782)3+ (0.079+0.2782)3+ (-1.473+0.2782)3+ (0.034+0.2782)3+ (-2.127+0.2782)3+ (0.665+0.2782)3+ (0.084+0.2782)3+ (-0.88+0.2782)3+ (0.375+0.2782)3+ (-1.658+0.2782)3+ (-0.851+0.2782)3+ (0.234+0.2782)3+ (-0.656+0.2782)3+ (0.34+0.2782)3+ (-0.086+0.2782)3+ (-0.158+0.2782)3)/32 = (0.032523- 0.000024+ 0.063617+ 1.218871- 0.028596+ 0.549756+ 0.442799- 0.354594- 0.622398- 6.026581+ 1.724546+ 0.075794+ 0.379818- 2.644101+ 2.316736- 1.276583+ 1.145102+ 0.045576- 1.705633+ 0.03043- 6.319312+ 0.839095+ 0.047517- 0.21795+ 0.278701- 2.62693- 0.187936+ 0.134375- 0.053924+ 0.236258+ 0.0071+ 0.001737)/32 = -0.390443
Момент четвертого порядка.
м4 = ((0.041+0.2782)4+ (-0.307+0.2782)4+ (0.121+0.2782)4+ (0.79+0.2782)4+ (-0.584+0.2782)4+ (0.541+0.2782)4+ (0.484+0.2782)4+ (-0.986+0.2782)4+ (-1.132+0.2782)4+ (-2.098+0.2782)4+ (0.921+0.2782)4+ (0.145+0.2782)4+ (0.446+0.2782)4+ (-1.661+0.2782)4+ (1.045+0.2782)4+ (-1.363+0.2782)4+ (0.768+0.2782)4+ (0.079+0.2782)4+ (-1.473+0.2782)4+ (0.034+0.2782)4+ (-2.127+0.2782)4+ (0.665+0.2782)4+ (0.084+0.2782)4+ (-0.88+0.2782)4+ (0.375+0.2782)4+ (-1.658+0.2782)4+ (-0.851+0.2782)4+ (0.234+0.2782)4+ (-0.656+0.2782)4+ (0.34+0.2782)4+ (-0.086+0.2782)4+ (-0.158+0.2782)4)/32 = (0.010381+ 0.000001+ 0.025396+ 1.301998+ 0.008745+ 0.45036+ 0.337502+ 0.250982+ 0.531404+ 10.967172+ 2.068076+ 0.032076+ 0.275064+ 3.656263+ 3.065505+ 1.384837+ 1.198006+ 0.01628+ 2.037891+ 0.0095+ 11.683144+ 0.791435+ 0.017211+ 0.131162+ 0.182047+ 3.624637+ 0.10765+ 0.068827+ 0.020373+ 0.146055+ 0.001365+ 0.000209)/32 = 1.387548
Коэффициент Асимметрии.
= (-0.390443)2/0.7911622 = 0.152445736249/0.625937310244 = 0.152446
Эксцесс.
= 1.387548/0.7911622–3 = 1.387548/0.625937310244–3 = –1.612451
3. Границы доверительного интервала для a.
, где
2·Ф(t)=0.95
Ф(t)=0.475
t=1.96
Границы доверительного интервала для у.
(у•(1-q(г,n)); у•(1+q(г,n)))
(0.89•(1-q(0.95,32)); 0.89•(1+q(0.95,32)))
(0.89•(1-0.27); 0.89•(1+0.27))
(0.89–0.24; 0.89+0.24)
(0.65; 1.13)