Индивидуальное задание по Эконометрике
Вариант 80
Имеются данные о потреблении дизельного топлива, объемах валовой продукции сельского хозяйства и общих объемах инвестиций (капитальных вложений) за 1985–2000 г.г. по одному из крупных экономических регионов, которые приведены в таблице 1. На основе имеющихся данных требуется решить следующие задачи.
Годы
Валовая продукция промышленности – x1 (млрд. р.)
Объем капитальных вложений – x2 (млрд. р.)
Объем потребления дизельного топлива – y (млн. т.)
1985
5,2
3,2
1,5
1986
6,3
3
1,1
1987
5,7
2,8
1,7
1988
5,8
2,6
1,3
1989
6,3
2,8
1,7
1990
6,6
3,2
1,9
1991
6,8
3,5
2,2
1992
7,3
4,1
2,1
1993
8
4,6
2,4
1994
8,4
4,8
2,8
1995
8,9
4,4
2,6
1996
8,6
4,2
2,2
1997
8,5
5
1,9
1998
8,9
4,8
3,2
1999
8,9
4,8
3
2000
8,8
5,1
2,8
Задача 1.
1.1. Выяснить, существует ли связь между потреблением дизельного топлива (y) и объемом валовой продукции (x1). (Для этого построить поле рассеяния. На основе его визуального анализа выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости y от x1). Найти точечные оценки неизвестных параметров модели. Выяснить, существует ли связь между потреблением дизельного топлива (y) и объемом капиталовложений (x2). Найти оценки неизвестных параметров модели.
Решение.
Рисунок 1.
На основе визуального анализа выдвигаем гипотезу о линейной зависимости y от x1. Следовательно, зависимость y от x1 описывается линейным уравнением y=a0+a1x1.
Рисунок 2.
На основе визуального анализа выдвигаем гипотезу о линейной зависимости y от x2. Следовательно, зависимость y от x2 описывается линейным уравнением y=b0+b1x2.
Найдем коэффициенты зависимостей a0, a1, b0, b1 методом наименьших квадратов.
Для удобства вычисления искомых коэффициентов моделей составляется таблица:
№
x1
x2
y
x12
x22
x1y
x2y
x1x2
y2
1
5.2
3.2
1.5
27.04
10.24
7.8
4.8
16.64
2.25
2
6.3
3
1.1
39.69
9
6.93
3.3
18.9
1.21
3
5.7
2.8
1.7
32.49
7.84
9.69
4.76
15.96
2.89
4
5.8
2.6
1.3
33.64
6.76
7.54
3.38
15.08
1.69
5
6.3
2.8
1.7
39.69
7.84
10.71
4.76
17.64
2.89
6
6.6
3.2
1.9
43.56
10.24
12.54
6.08
21.12
3.61
7
6.8
3.5
2.2
46.24
12.25
14.96
7.7
23.8
4.84
8
7.3
4.1
2.1
53.29
16.81
15.33
8.61
29.93
4.41
9
8
4.6
2.4
64
21.16
19.2
11.04
36.8
5.76
10
8.4
4.8
2.8
70.56
23.04
23.52
13.44
40.32
7.84
11
8.9
4.4
2.6
79.21
19.36
23.14
11.44
39.16
6.76
12
8.6
4.2
2.2
73.96
17.64
18.92
9.24
36.12
4.84
13
8.5
5
1.9
72.25
25
16.15
9.5
42.5
3.61
14
8.9
4.8
3.2
79.21
23.04
28.48
15.36
42.72
10.24
15
8.9
4.8
3
79.21
23.04
26.7
14.4
42.72
9
16
8.8
5.1
2.8
77.44
26.01
24.64
14.28
44.88
7.84
У
119
62.9
34.4
911.48
259.27
266.25
142.09
484.29
79.68
сред.
7.44
3.93
2.15
56.97
16.2
16.64
8.88
30.27
4.98
По приведенным выше формулам получим:
a0=2.15–0.3984·7.44=–0.814
Следовательно, получим приближенную зависимость
y=0.3984x1–0.814
Аналогично получим:
a0=2.15–0.57·3.93=–0.09
Следовательно, получим приближенную зависимость
y=0.57x2–0.09
1.2. По найденным в п. 1.1. уравнениям регрессии построить доверительные интервалы потребления дизельного топлива, соответствующие вероятности 0.9, при следующих значениях независимой переменной: x=xmin, x=, x=xmax. Построить доверительную полосу для уравнения регрессии. Изобразить на графике поле рассеяния, прямые регрессии и доверительные полосы.
Решение.
Доверительные интервалы среднего потребления дизельного топлива для уравнения парной регрессии y=a0+a1x находятся по формуле:
где yв, yн – соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала; x1k – значение независимой переменной, для которой определяется доверительный интервал.
– квантиль распределения Стьюдента (1–б) – доверительная вероятность, (n–2) – число степеней свободы.