Индивидуальное задание по финансовой математике.
Вариант 18.
1. В 2003 г. в Ваш день рождения 19.03. в банке был открыт счет до востребования на сумму 12000 рублей. Ставка – 2% годовых, по условиям договора вклада начисление и капитализация процентов осуществляются по истечении каждого календарного квартала. Сколько денег получит клиент банка при закрытии счета в этот же день в 2004 году?
Решение.
Сумма после начисления процентов в конце первого квартала 2003 года:
12000·(1+0.02·12/365)=12007.89 руб.
После 2 квартала
12007.89·(1+0.02·91/365)=12067.76 руб.
После 3 квартала
12067.76·(1+0.02·92/365)=12128.59 руб.
После 4 квартала
12128.59·(1+0.02·92/365)=12189.73 руб.
При закрытии счета
12189.73·(1+0.02·78/366)= 12241.69 руб.
2. Какой была бы эта сумма, если бы а) начисление процентов и их капитализация осуществлялись лишь по истечении календарного года; б) начисление процентов и их капитализация осуществлялись бы ежедневно; в) начисление процентов и их капитализация осуществлялись бы непрерывно?
Решение.
а) Начисление процентов в конце года.
12000·(1+0.02·287/365)=12188.71 руб.
При закрытии счета
12188.71·(1+0.02·78/366)= 12240.66 руб.
б) Ежедневное начисление процентов
За остаток 2003 года
12000·(1+0.02/365)287=12190.2 руб.
За период с 1 января по 18 марта 2004 года
12190.2·(1+0.02/366)78=12242.27 руб.
в) Непрерывное начисление процентов.
За остаток 2003 года
12000·e0.02·287/365=12190.2 руб.
За период с 1 января по 18 марта 2004 года
12190.2· e0.02·78/366=12242.27 руб.
3. Дайте ответ на вопрос, поставленный в задаче 1, если на такую же сумму в тот же день был открыт срочный вклад на 120 дней с автоматическим продлением условий вклада на новый срок в случае неявки клиента. Ставка – 14% годовых.
Решение.
12000·(1+0.14·120/365)3•(1+0.02·4/366)=13737.43 руб.
4. Рассчитайте годовую эффективную ставку процента для срочного вклада на 60 дней под 15% годовых.
Решение.
Следовательно, искомая ставка равна 15.97%.
5. Срочный вклад на 100 дней открыт 20 августа 2002 г. На сумму 350000 рублей. Расчетная ставка – 17,2% годовых. Какой будет величина подоходного налога (35%), уплачиваемого вкладчиком по окончании срока вклада, если предположить, что на протяжении всего периода ставка рефинансирования Центрального Банка останется такой же, какой она была 20 августа?
Решение.
Сумма полученных процентов равна
350000·(0.172·100/365)=16493.15 руб.
20 августа 2002 года ставка рефинансирования была равна 21%.
Величина подоходного налога
16493.15·(0.35–0.21·3/4) = 16493.15·0.1925 = 3174.93 руб.
6. Годовая эффективная ставка процента по срочным вкладам на год во всех банках составляет 13%. Пусть вероятность банкротства любого банка в течении ближайшего года составляет 6%. Банкротство банка означает потерю всех вложенных в него денег. Определите математическое ожидание получаемой через год суммы, вероятности получить максимум и потерять все в случае, если: а) все 900000 руб. вложены в один банк; б) если деньги поровну распределены между двумя банками; в) если деньги поровну распределены между тремя банками. Задачу решить в предположении, что банкротство одних банков никак не сказывается на положении других.
Решение.
а) Возможны 2 исхода (банк разорился, банк не разорился).
Вероятность первого исхода – 6%. Получаемая в этом случае сумма = 0.
Вероятность второго исхода – 94%. Получаемая в этом случае сумма = 900000·1.13 = 1017000 руб.
Математическое ожидание получаемой суммы = 1017000·0.94 = 955980 руб.
Вероятность получить максимум (1017000 руб.) – 94%.
Вероятность не получить ничего – 6%.
б) Возможны 3 исхода (ни один из банков не разорился, разорился 1 из банков, разорились оба банка). Найдем вероятность каждого исхода и полученную в каждом случае сумму.
Вероятность того, что ни один из банков не разорился, равна 0.942=0.8836=88.36%. Полученная при этом сумма = 900000·1.13 = 1017000 руб.
Вероятность того, что разорился один из банков равна 2·0.94·0.06 = 0.1128 = 11.28%. Полученная при этом сумма 450000·1.13 = 508500 руб.
Вероятность того, что оба банка разорились равна 0.06·0.06=0.0036 =