Задача 6.
Преподаватели кафедры Прикладной информатики преподают на трех факультетах: механическом, технологическом, экономическом. На технологическом работает 22 преподавателя, на механическом – 23, на механическом или экономическом – 36. Только на технологическом – 10 преподавателей; 2 – на трех факультетах. Только на механическом и экономическом факультетах – 5 преподавателей. Число преподавателей, работающих только на механическом и технологическом факультетах, равно числу преподавателей, работающих на экономическом и технологическом факультетах. Сколько преподавателей работает на кафедре?
Решение.
Обозначим через
МВ – количество всех преподавателей кафедры Прикладной информатики;
Мм – количество преподавателей, работающих только на механическом факультете;
МТ – количество преподавателей, работающих только на технологическом факультете;
МЭ – количество преподавателей, работающих только на экономическом факультете;
ММТ – количество преподавателей, работающих на двух факультетах: механическом и технологическом;
ММЭ – количество преподавателей, работающих на двух факультетах: механическом и экономическом;
МТЭ – количество преподавателей, работающих на двух факультетах: технологическом и экономическом;
ММТЭ – количество преподавателей, работающих на трех факультетах.
По условию задачи, так как на механическом или экономическом факультетах работают 36 человек, получаем:
ММ + МЭ + ММТ + ММЭ + МТЭ + ММТЭ = 36 (условие 1).
Так как только на технологическом факультете работают 10 преподавателей, то
МТ = 10 (условие 2).
Требуется найти МВ.
Диаграмма Эйлера-Вена:
Из диаграммы Эйлера-Вена получаем:
МВ = ММ + МЭ + МТ + ММТ + ММЭ + МТЭ + ММТЭ.
По условию 1: ММ + МЭ + ММТ + ММЭ + МТЭ + ММТЭ = 36.
По условию 2: МТ = 10.
Получаем: МВ = 36 + 10 = 46.
Ответ: 46 преподавателей работает на кафедре Прикладной информатики.
Задача 16.
Если все посылки истинны и аргумент – правильный, то заключение истинно. Заключение ложно. Следовательно, аргумент неправильный или не все посылки истинны.
Решение.
Обозначим высказывания:
А – «посылки истинны»;
В – «аргумент правильный»;
С – «заключение истинно».
Данное рассуждение можно представить в виде формулы:
.
Проверим формулу на тождественную истинность.
Введем обозначения:
;
;
;
.
Составляем таблицу истинности:
А
B
C
D
Q
R
E
F
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
Так как формула F является тождественно истинной, данное рассуждение верно.
Задача 26.
По заданной функции проводимости построить СКНФ и СДНФ. Упростить полученные формулы:
.
Решение.
Исходя из условия, построим таблицу истинности заданной функции проводимости:
х
y
z
f(x,y,z)
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0