Задача 9.
На курсы иностранных языков зачислено 300 слушателей. Из них английский и немецкий изучают 60 человек, английский и французский – 70 человек. Число слушателей, изучающих только французский язык, равно числу слушателей, изучающих только немецкий язык. Только английский язык изучают 60 слушателей. Только немецкий язык изучает число слушателей на 10 меньше, чем число слушателей, изучающих только английский и немецкий языки. Занятия по французскому и немецкому языкам проводятся единовременно. Сколько слушателей не посещают занятия?
Решение.
Обозначим через
МВ – количество всех слушателей, посещающих занятия;
МА – количество слушателей, изучающих только английский язык;
МН – количество слушателей, изучающих только немецкий язык;
МФ – количество слушателей, изучающих только французский язык;
МАН – количество слушателей, изучающих два языка: английский и немецкий;
МАФ – количество слушателей, изучающих два языка: английский и французский;
МНФ – количество слушателей, изучающих два языка: немецкий и французский;
МАНФ – количество слушателей, изучающих три языка.
По условию задачи, так как английский и немецкий языки изучают 60 человек, получаем:
МАН + МАНФ = 60 (условие 1).
Так как английский и французский языки изучают 70 человек, получаем:
МАФ + МАНФ = 70 (условие 2).
Так как число слушателей, изучающих только французский язык, равно числу слушателей, изучающих только немецкий язык, то
МФ = МН (условие 3).
Так как только английский язык изучают 60 слушателей, то
МА= 60 (условие 4).
Так как только немецкий язык изучает число слушателей на 10 меньше, чем число слушателей, изучающих только английский и немецкий языки, то
МН = МАН – 10 (условие 5).
Так как занятия по французскому и немецкому языкам проводятся единовременно, т.е. нельзя изучать французский и немецкий язык, то
МНФ + МАНФ = 0 (условие 6).
Требуется найти 300 – МВ.
Диаграмма Эйлера-Вена:
Из условия 6 получаем МНФ = МАНФ = 0 .
Тогда из условий 1 и 2: МАН = 60, МАФ = 70 .
Следовательно, по условию 5: МН = 60 – 10 = 50.
Тогда по условию 3: МФ = МН = 50.
Из диаграммы Эйлера-Вена получаем: МВ = МА + МН + МФ + МАН + МАФ + МНФ + МАНФ=60+50+50+60+70+0+0=290.
Получаем: 300 – МВ = 300-290 =10.
Ответ: 10 слушателей не посещают занятия.
Задача 19.
Галя и Борис – ровесники или Галя старше Бориса. Если Галя и Борис – ровесники, то Оля и Борис – разного возраста. Если Галя старше Бориса, то Борис старше Коли. Следовательно, Оля и Борис – разного возраста или Борис старше Коли.
Решение.
Обозначим высказывания:
А – «Галя и Борис – ровесники»;
В – «Галя старше Бориса»;
С – «Оля и Борис – разного возраста»;
D – «Борис старше Коли».
Данное рассуждение можно представить в виде формулы:
.
Проверим формулу на тождественную истинность.
Введем обозначение:
Составляем таблицу истинности:
А
B
C
D
Q
F
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
Так как формула F не является тождественно истинной, данное рассуждение неверно.
Задача 26.
По заданной функции проводимости построить СКНФ и СДНФ. Упростить полученные формулы:
.