Задача № 1
Для стального стержня переменного сечения (рис. 1), загруженного сосредоточенными силами, требуется:
1. Используя метод сечений, определить продольные силы N и нормальные напряжения у в поперечных сечениях на каждом участке. Построить эпюры N и у по длине бруса.
2. Найти полное удлинение бруса Дlполн, просуммировав удлинение его отдельных участков.
3. Построить эпюру продольных перемещений Д по длине бруса. Построение эпюры перемещений вести от жесткой заделки, где перемещение равно нулю.
А = 35 см2, Р1 =250 кН, Р2 =150 кН, Р3 =50 кН, L1 = 0,70 м, L2 = 0,90 м, L3 = 0,70 м.
Модуль упругости для стали: Е = 2*105 МПа = 2*106 кгс/см2.
Рис. 1. Стальной стержень
Решение:
1. Для определения сил на каждом участке N1, N2,N3 проведем соответствующие сечения 1-1, 2-2, 3-3 и к каждому из них применим правило определения продольной силы, подсчитывая ее от сил справа:
I участок: N1 = - Р1 + Р2 + Р3 = - 250 + 150 + 50 = - 50 кН (сжатие)
II участок: N2 = Р2 + Р3 = 150 + 50 = 200 кН (растяжение)
III участок: N3 = Р3 = 50 кН (растяжение)
Нормальные напряжения:
N
у = -----
А
где: N – продольная сила в заданном сечении бруса, определяемая методом сечений;
А – площадь поперечного сечения бруса.
150 * 103
у1 = -------------- = 42,9 МПа
35 * 10-4
100
у2 = 10 -------- = 14,3 МПа
70
50
у3 = 10 -------- = 14,3 МПа
35
Рис. 2. Эпюра продольных сил и напряжений
2. Найдем полное удлинение бруса:
NiLi
ДLполн = ? ДLi = -------
EiAi
Перемещение сечения а-а найдем, рассматривая это сечение как верхнюю границу первого участка, который работает на сжатие, т. е. укорачивается. Тогда
N1L1 50*103*0,7
Да-а = ДL1 = -------- = - ------------------- = - 0,00005 м = - 0,005 см (вниз)
EA 2*105*35*10-4
Перемещение сечения b-b будет равно перемещению сечения а-а плюс удлинение II участка:
N2L2 200*103*0,9
Дb-b = ДLa-a + ДL2 = Дa-a + -------- = ------------------- =
EA 2*105*70*10-4
= - 0,005 + 0,013 = - 0,008 см (вниз)
N3L3 50*103*0,7
Дс-с = ДLb-b + ДL3 = Дa-a + -------- = ------------------- =
EA 2*105*35*10-4
= - 0,008 + 0,005 = - 0,003 см (вниз)