Задача № 7
А. Для элементарного кубика (рис. 5), выполненного из стали (v = 0,30) и находящегося в плоском напряженном состоянии (одно из трех главных направлений равно нулю), требуется:
1. Определить аналитически и проверить с помощью круга Мора величину главных напряжений и положение главных площадок.
2. С помощью круга Мора найти величину экстремальных касательных напряжений и положение площадок наибольшего сдвига. Найти также величину нормальных напряжений на этих площадках.
3. Пользуясь выражением обобщенного закона Гука, вычислить относительные деформации ребер – ех, еy, еz, параллельных соответствующим осям.
ух = - 60 МПа, уу = 60 МПа, фу = - 60 МПа.
Б. Стальной параллелепипед (Е = 2*105 МПа; н = 0,25) с размерами: а = 2,6 см, b = 2,6 см, с = 2,6 см, находится под воздействием сил, создающих объемное напряженное состояние Р1 = 50 кН, Р2 = - 50 кН, Р3 = 50 кН. Требуется:
1. Определить нормальные напряжения.
2. Вычислить абсолютные удлинения ребер параллелепипеда.
3. Вычислить полную потенциальную энергию тела.
4. Найти изменение объема параллелепипеда.
5. Вычислить экстремальные касательные напряжения фmax.
Рис. 5. Элементарный кубик
Решение:
Проведя оси у и ф параллельно осям х и у (рис. 6), записываем координаты отображающих точек К1 (ух; фу) и К2 (уу; фх): К1 (60; -60) и К2 (-60; 60). Проведя круг радиусом R = ОК1 = ОК2 , определяем по масштабу главные напряжения: в точке 1 уmax = у1 = 80 МПа, а в точке 2 уmin = у2 = 80 МПа. Делаем проверку: ух + уу = у1 + у2 = const, 60 – 60 = 80 – 80. Условие выполнено. Далее найдем на круге полюс по его координатам S (-60; -60). Проведя из точки S лучи через точки 1 и 2, найдем направление главных напряжений, а главные площадки перпендикулярны этим лучам. Находим положение площадок с главными напряжениями.
Рис. 6. Круг напряжений Мора
Определим относительную деформацию ребер:
1
ех = ---- [ух – н (уу + уz ]
E
1
еy = ---- [уy – н (уx + уz ]
E
1
еz = ---- [уz – н (уx + уy ]
E
1
ех = -------- [60 – 0,3 (60 + 60)] =0,012
2*105
1
еу = -------- [60 – 0,3 (60 + 60)] =0,012
2*105
1
еz = -------- [60 – 0,3 (60 + 60)] =0,012
2*105
Определим нормальные напряжения:
N
у = ------
A
50 * 103
у1 = -------------- = 74 МПа
6,76 * 10-4
50
у2 = 10 -------- = 74 МПа
6,76
50
у3 = 10 -------- = 74 МПа
6,76
Определим абсолютные удлинения ребер параллелепипеда:
N1L1 50*103*0,26
ДL1 = -------- = - ------------------- = - 0,000028 м = - 0,0028 см
EA 2*105*6,76*10-4
N2L2 50*103*0,26
ДL2 = -------- = - ------------------- = - 0,000028 м = - 0,0028 см