Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Южно-Уральский Государственный Университет
Кафедра АиУ.
Реферат
по математическим основам теории систем
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Выполнил: Подрезов Сергей Валерьевич
Группа: ПС-243
Преподаватель: Разнополов Олег Александрович
Челябинск, 2005
Содержание.
Введение. 3
Необходимые и достаточные условия существования экстремума. 3
Итеративные методы. Постановка задачи. 7
Пример. 8
Список используемой литературы. 10
Введение.
Классическая теория оптимизации основана на использовании дифференциального исчисления для нахождения точек максимума и минимума (экстремумов) функции в условиях наличия и отсутствия ограничений.
Постановка задачи нелинейного программирования
В задаче нелинейного программирования (НЛП) требуется найти значение многомерной переменной , минимизирующее целевую функцию при условиях, когда на переменную наложены ограничения типа неравенств, а переменные , то есть компоненты вектора , неотрицательны. Если некоторые ограничения входят в задачу со знаком равенства, например, то их можно представить в виде пары неравенств , сохранив тем самым типовую формулировку задачи.
Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
Рассмотрим условия существования экстремумов функции и переменных , предполагая, что первая и вторая производные непрерывны.
Теорема 1:
Если точка является экстремальной точкой функции , то .
Если - точка максимума (минимума), то (), для всех при малых hj.
По теореме Тейлора при 0?И?1 верно разложение .
Предположим, что - точка минимума. Предположим, что , тогда для некоторого j , либо .
Выберем знак так, чтобы , остальные =0. Тогда получим, что , что противоречит определению точки минимума. Значит, .
Это условие является необходимым, но не достаточным. Точки, удовлетворяющие условие будем называть стационарными.
Теорема 2:
Стационарная точка является экстремальной, когда матрица Гессе Н в точки оказывается, определена положительно (т. минимума) или отрицательно (т. максимума).
Из предыдущей теоремы: . Пусть - точка минимума, тогда по определению .
Для всех ненулевых , это означает, что , т.к. - квадратичная форма, то рассматриваемая величина положительна тогда и только тогда, когда