Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Южно-Уральский Государственный Университет

Кафедра АиУ.

Реферат

по математическим основам теории систем

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Выполнил: Подрезов Сергей Валерьевич

Группа: ПС-243

Преподаватель: Разнополов Олег Александрович

Челябинск, 2005

Содержание.

Введение. 3

Необходимые и достаточные условия существования экстремума. 3

Итеративные методы. Постановка задачи. 7

Пример. 8

Список используемой литературы. 10

Введение.

Классическая теория оптимизации основана на использовании дифференциального исчисления для нахождения точек максимума и минимума (экстремумов) функции в условиях наличия и отсутствия ограничений.

Постановка задачи нелинейного программирования

В задаче нелинейного программирования (НЛП) требуется найти значение многомерной переменной , минимизирующее целевую функцию при условиях, когда на переменную наложены ограничения типа неравенств, а переменные , то есть компоненты вектора , неотрицательны. Если некоторые ограничения входят в задачу со знаком равенства, например, то их можно представить в виде пары неравенств , сохранив тем самым типовую формулировку задачи.

Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Рассмотрим условия существования экстремумов функции и переменных , предполагая, что первая и вторая производные непрерывны.

Теорема 1:

Если точка является экстремальной точкой функции , то .

Если - точка максимума (минимума), то (), для всех при малых hj.

По теореме Тейлора при 0?И?1 верно разложение .

Предположим, что - точка минимума. Предположим, что , тогда для некоторого j , либо .

Выберем знак так, чтобы , остальные =0. Тогда получим, что , что противоречит определению точки минимума. Значит, .

Это условие является необходимым, но не достаточным. Точки, удовлетворяющие условие будем называть стационарными.

Теорема 2:

Стационарная точка является экстремальной, когда матрица Гессе Н в точки оказывается, определена положительно (т. минимума) или отрицательно (т. максимума).

Из предыдущей теоремы: . Пусть - точка минимума, тогда по определению .

Для всех ненулевых , это означает, что , т.к. - квадратичная форма, то рассматриваемая величина положительна тогда и только тогда, когда