Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Южно-Уральский Государственный Университет

Кафедра АиУ.

Реферат

по математическим основам теории систем

ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Выполнил: Подрезов Сергей Валерьевич

Группа: ПС-243

Преподаватель: Разнополов Олег Александрович

Челябинск, 2005

Содержание.

Введение. 3

Устойчивость в смысле Ляпунова. 3

Устойчивость однородной системы. 4

Устойчивость неоднородной системы. 6

Критерий Гурвица. 6

Второй метод Ляпунова. 8

Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения. 11

Исследование устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования с помощью второго метода Ляпунова. 12

Список литературы. 14

Введение.

Устойчивость или неустойчивость линейной стационарной системы определяется расположенным на S-плоскости нулей ее характеристического уравнения. Устойчивость системы не зависит от начальных условий или ее входных сигналов. Для нелинейных систем это перестает быть справедливым.

Ограниченность или неограниченность реакции нелинейной системы может зависеть от начальных условий или вынуждающей функции.

Устойчивость в смысле Ляпунова.

Под устойчивостью систем автоматического регулирования обычно понимают свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения.

Требование устойчивости определяет, как правило, работоспособность системы. Полагая, что система автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим устойчивость решений дифференциальных уравнений. Пусть поведение системы автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

(i =1, 2, 3,…, n), (1)

где xi – переменные, характеризующие состояния системы.

В векторной форме систему (1) можно записать следующим образом:

(2)

В уравнении (2) принято обозначение:

, , .

Если система (1) является автономной (если вектор-функция f не зависит явно от времени t, т.е. система дифференциальных уравнений имеет вид , то система уравнений называется автономной (стационарной)), то уравнение (2) имеет вид:

. (3)

Введем в рассмотренные (n + 1)-мерное пространство En+1, координатами которого являются t, x1,…, xn. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по независимым переменным x1,…, xn в