Согласно условиям задания, m = 1; n = 10.
Задача 1
1. Получен кредит в размере 1 млн р. под 10 % ежемесячно.
Какая сумма должна быть возвращена через 11 месяцев при простом проценте?
Какая должна быть процентная ставка при сложном проценте, чтобы за это же время возвращаемая сумма была та же, что и при простом проценте?
Решение:
При простом проценте:
Sn = P x (1 + n x i),
где n - количество периодов
Р - начальная сумма денег
Sn - наращенная сумма за n периодов.
S11 = 1 х (1 + 11 х 10 / 100) = 2,1 млн. р.
При сложных процентах:
Sn = P x (1 + i)n,
Следовательно чтобы найти ставку процента необходимо вычислить:
(1 + i)n = Sn / P
1+i = Корень в степени n (Sn / P)
i = Корень в степени n (Sn / P) - 1 или
i = Корень в степени 11(2,1 / 1) - 1 = 0,0698
Процентная ставка составит: 0,0698 х 100 = 6,98 %
Ответ: S11 = 2,1 млн. р., Процентная ставка при сложном проценте = 6,98%.
Задача 2
2. Заемщик должен одному кредитору три различные суммы: 1 тысяч рублей с выплатой через 3 месяца, 10 тысяч рублей с выплатой через 4 месяца, 11 тысяч рублей через 6 месяцев. Через какой срок заемщик может погасить весь долг сразу, если кредиты брались под простую годовую ставку 11 %?
Решение:
Для объединения займов устанавливаем их современную величину:
А1 = 1 / (1 + 11 / 100) (3/12) = 0,974
А2 = 10 / (1 + 11 / 100) (3/12) = 9,742
А2 = 11 / (1 + 11 / 100) (3/12) = 10,717
А = 0,974 + 9,742 + 10,717 = 21,433
Такую сумму следует выплатить сейчас для погашения всех займов.
Задача 3
3. Фирме требуется накопить (100 + 100 х 1 = 200) тыс.р. для покупки оборудования через [4+((-1)m+(-1)n)/2 = 4 + (-1 + 1) / 2 = 4] лет. Для этого в конце каждого полугодия на счет в банке собираются делать взнос. Какова должна быть величина этого взноса, если банк начисляет проценты ежеквартально по ставке сложных (10+n = 10+10 = 20)% годовых? Найти современную стоимость этой ренты.
Решение:
Полугодия
Взнос
Начислено
Остаток
1
15,9
1,59
17,49
2
15,9
3,339
36,729
3
15,9
5,263
57,892
4
15,9
7,379
81,171
5
15,9
9,707
106,778
6
15,9
12,268
134,946
7
15,9
15,085
165,931
8
15,9
18,183
200
Таким образом, величина взноса = 15,9
Современная стоимость ренты = 15,9 / (0,2/2) = 159 тыс. руб.
Задача 4
4. Некто хочет вложить определенную сумму в финансовую операцию на срок [8+(-1)m +(-1)n = 8 – 1 + 1 = 8] месяцев. Он рассматривает следующие варианты:
а) положить в банк под простые (20+n = 20 + 10 = 30)% годовых; б) положить в банк под сложные (20+10 = 30)% годовых с начислением в конце каждых двух месяцев; в) купить облигацию по курсу (80+1 = 81)% с тем же сроком погашения.
Какой из вариантов выбрать?
Решение:
Считаем прирост при простых процентах:
Sn = P x (1 + n x i),
Прирост составит: 30*8/12 = 20%
При сложных процентах:
Процент каждые 2 месяца = 30 х 2 / 12 = 5%
Прирост составит ((1+5/100) 4 – 1) х 100 – 100 = 121,55 – 100 = 21,55%.
По облигации доход = 100 – 81 = 19%.
Следовательно, наиболее выгодным является положить деньги в банк под сложные проценты.
Ответ: вариант б).
Задача 5
5. Банк учел вексель по простой учетной ставке d=n = 10% годовых за (100+m = 101) дней до срока выплаты и кроме того удержал комиссионные в размере 0,m = 0,1% от номинала. Оценить доходность этой операции в виде годовой ставки: а) простых, б) сложных процентов.
Решение:
При простых процентах:
Доходность = 10 х 101 / 360 + 0,1 = 2,8 + 0,1 = 2,9%.
При сложных процентах (начисление процентов каждый месяц):
Доходность = (1 + 0,1/12)3 х 100 – 100 = 2,52%.