4. Докажите, что композиция гомотетий и параллельного переноса является гомотетией с тем же коэффициентом. Является ли гомотетией композиция параллельного переноса и гомотетии.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой о трех центрах подобия:

Теорема о трех центрах подобия. Композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:

HA2k2oHA1k1 =

причем в первом случае вектор a параллелен прямой A1A2, а во втором случае центр результирующей гомотетии A лежит на прямой A1A2 и k = k1 . k2.

Здесь HAk обозначает гомотетию с центром в A с коэффициентом k.

Применим эту теорему к нашей задаче:

Композиция гомотетий

HA1k1 :     w = k1(z - A1) + A1;        HA2k2 :     w = k2(z - A2) + A2

имеет вид

w = k1 . k2 . z + k2(1 - k1)A1 + (1 - k2)A2.

Если k1 . k2 = 1, то получаем параллельный перенос. Если же k1 . k21, то это гомотетия с коэффициентом k1 . k2, центр A которой находится из уравнения

k1 . k2 . z + k2(1 - k1)A1 + (1 - k2)A2 = k1 . k2(z - A) + A.

Если же имеем гомотетии с одинаковыми коэффициентами подобия, то принципиально ничего не меняется, так что композиция гомотетий и параллельного переноса является гомотетией с тем же коэффициентом. При этом является гомотетией композиция параллельного переноса и гомотетии.

5. а) Доказать линейность оператора.

б) Найти его матрицу в указанном базисе.

в) Найти образ, ядро и дефект линейного оператора.

№53 – умножение матриц слева на матрицу . Базис: , , , .

Решение:

а) Для доказательства линейности оператора необходимо доказать два его свойства, а именно: и , где .

По свойствам операций с матрицами:

;

.

Таким образом, доказали линейность оператора.

б) Найдем матрицу оператора в указанном базисе:

Значит, матрица оператора в указанном базисе .

3) Найдем образ, ядро и дефект линейного оператора.

Поскольку , то образом линейного оператора являются матрицы .

Ядром линейного оператора называется множество элементов из его области определения , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают

: .

Исходя из этого определения найдем ядро оператора из следующего матричного уравнения:

.

Отсюда ; . Значит,

.

Размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора. Поскольку , то дефект оператора равен 1.

6. Матрица оператора в базисе равна А. Найти его матрицу в базисе , , …, .

№63 .

Решение:

Найдем матрицу перехода между двумя базисами:

.

Найдем матрицу, обратную C:

. Найдя алгебраические дополнения к каждому элементу матрица А, найдем обратную матрицу:

.

Тогда искомая матрица:

.

7. Можно ли привести матрицу линейного оператора к диагональному виду путем перехода к новому базису? Найти базис и соответствующую ему диагональную матрицу.

№73 .

Решение:

Такое возможно. Для приведенной в условии задачи матрицы таким базисом может быть следующая система матриц:

, , .

Соответствующая диагональная матрица:

.