Задача 189
Для функции, заданной таблично:
1) составить интерполяционный многочлен Лагранжа;
2) построить таблицу конечных разностей;
3) составить интерполяционный многочлен Ньютона для интерполяции вперед и назад;
4) вычислить приближенно (с 4 дес. зн.) значение функции в точке X*;
X
4
5
6
7
Y
-3
-1
0
7
X*=4.75
Решение.
1) Составим интерполяционный многочлен Лагранжа.
=
2) построим таблицу конечных разностей;
0,001048
0,001038
-0,000010
0,001038
-0,000008
0,000002
0,001030
-0,000008
0
-0,000002
0,001011
-0,000019
-0,000011
-0,000011
0,001002
-0,000009
0,000010
0,000021
0,000993
-0,000009
0
-0,000010
0,000984
-0,000009
0
0
0,000976
-0,000008
0,000001
0,000001
0,000966
-0,000010
-0,000002
-0,000003
-0,00009
0,000032
0,000041
-0,000031
-0,000063
-0,000104
0,000010
0,000041
0,000104
0,000208
0,000001
-0,000009
-0,000050
-0,000150
-0,000004
-0,000005
0,000004
0,000054
-0,000358
0,000204
0,000562
3) Многочлен Ньютона
4) вычислим значение функции
Для значения х1 = 4 будет t = 0,22.
В результате получается:
F5 (х1) = (-3) + 0,00023056 + 0,0000010296 + … = –2,888782.
Для значения х2 = (-1) будет t = 0,95
F5 (х2) = -1,898136.
Для значения х3 = 0 будет
t = - 0,3;
F5 (х3) = 0,888227.
Для значения х4 = 7 будет
t = 11;
F5 (х4) = 7,899585.
С точностью до 4 знака: F5 (х4) = 7,8996.
Задача 269
1) Решить задачу Коши Y’=F(X,Y), Y(X0) на отрезке [0,1] методом Эйлера с шагом Н=0.1.
2) Составить блок-схему и программу для решения задачи методом Рунге-Кутта: Y’ = 0.2X + 0.04Y2, Y(0)=1
Решение:
1) Явная схема Эйлера реализуется в MathCad следующим алгоритмом:
Этот алгоритм в MathCad реализуется функцией
Ниже приведем программу в MathCad и результаты ее работы:
правая часть дифференциального уравнения
задание начальных условий
Х1:=1
конец отрезка интегрирования
число точек разбиения отрезка интегрирования
Решение дифференциальных уравнений в пакете MathCad осуществляется методом Эйлера.
графическое решение уравнения и таблица значений функции у(х), полученные с помощью встроенных функций MathCad для решения дифференциальных уравнений
2) Приведем текст программы на MathCad и результаты ее работы
правая часть дифференциального уравнения
задание начальных условий
число точек разбиения отрезка интегрирования
b:=1
границы отрезка интегрирования
вычисление шага интегрирования
h = 0.1
значение шага интегрирования
расчетные формулы метода Рунге-Кутта, заданные в виде функций пользователя
построение точечного решения
графическое решение уравнения и таблица значений функции у(х)