План работы

Введение 3

Глава 1. История открытия закона больших чисел 5

Глава 2. Теорема Бернулли 6

Глава 3. Закон больших чисел в форме Чебышева. 7

Глава 4. Значение закона больших чисел для практики 8

Глава 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 10

Заключение 13

Список литературы 14

Введение

При изучении теории вероятностей приходится использоватъ понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний могут наблюдаться определенные закономерности. Эти закономерности, свойственные массовым случайным явлениям, и изучает теория вероятностей. Следует отметить, что математические законы теории вероятностей получены в результате абстрагирования реальных ситуаций, в которых наблюдаются случайные массовые явления.

При изучении результатов наблюдений над реальными случайными массовыми явлениями также имеют место некоторые закономерности. Следует обратить внимание на то, что они обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

Глава 1. История открытия закона больших чисел

Первая точно доказанная теорема принадлежит Я.Бернулли (опубликована после его смерти, в 1713). Теорема Бернулли была обобщена С. Пуассоном, в сочинении которого "Исследование о вероятности суждения" (1837) впервые появился термин " закон больших чисел ". Значительно более общее понимание этого термина основано на работе П. Л. Чебышева "О средних величинах" (1867). В этом современном понимании Б. ч. з. утверждает, что при некоторых подлежащих точному указанию условиях среднее арифметическое достаточно большого числа n независимых случайных величин Xk с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от своего математического ожидания.

Условие независимости слагаемых в большинстве применений закона больших чисел если и выполняется, то лишь с тем или иным приближением. Поэтому важно исследование условий применимости закона больших чисел к случаю зависимых слагаемых. Основные математические работы в этом направлении принадлежат А. А. Маркову, С. Н. Бернштейну и А. Я. Хинчину.

Глава 2. Теорема Бернулли

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Можно ли предвидеть какова будет примерно относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Яковом Бернулли, которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке. Доказательство Бернулли было сложным; простое доказательство дано П. Л. Чебышевым в 1846 г.

Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы будет иметь место равенство

Глава 3. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Теорема Чебышева. Если X1, Х2, ...Хп попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то как, бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин; она является ярким примером, подтверждающим справедливость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

Глава 4. Значение закона больших чисел для практики

Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве