Содержание
Задача 1 3
Задача 2 9
Список литературы 15
Задача 1
Имеются выборочные данные о глубине вспашки полей под озимые культуры Х (см) и их урожайности Y (ц с га) (табл. 1).
Таблица 1
Исходные данные
Х
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Y
5
10
12
16
20
16
17
25
22
20
1. Составить уравнение линейной регрессии y = a + bx +е, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
2. Составить уравнение линейной регрессии y = a + bx +е, используя матричный метод.
3. Вычислить коэффициент корреляции и оценить полученное уравнение регрессии.
4. Найти оценки параметров а, b, д2.
5. Найти оценки параметров нормального распределения для статистик а? и b?.
6. Найти доверительные интервалы для а и b на основании оценок а? и b? при уровне значимости а = 0,05.
7. Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество выбранного уравнения регрессии.
Решение:
Используя исходные данные, строим диаграмму рассеяния (рис. 1):
Рисунок 1 – Диаграмма рассеяния
Полагаем, что связь между факторами Х и У может быть описана линейной функцией.
Нормальные уравнения для линейного тренда имеют вид:
где: yi - уровни исходного ряда динамики;
ti - номера периодов или моментов времени (1,2,3:n);
n - число уровней ряда;
а0, а1, а2 - константы уравнений.
Решение задачи нахождения оценок а и b основывается на применении метода наименьших квадратов (сокращенно - МНК), суть которой в следующем: нахождение оценок а и b неизвестных параметров б и в сводится к следующей экстремальной задаче функции двух переменных F(a,b):
,
которая в свою очередь сводится к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными а и b:
Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:
;
Обозначим через ; выборочные средние наблюдаемых значений переменных х и у. Таким образом, оценки а и b можно искать по следующим формулам:
; .
Для этого организуем вычисления во вспомогательной табл. 2.
Таблица 2
Вспомогательная таблица для определения параметров уравнения линейной регрессии
Номер
Х
Y
Х2
Y2
ХY
1
0
5
0
25
0
2
5
10
25
100
50
3
10
12
100
144
120
4
15
16
225
256
240
5
20
20
400
400
400
6
25
16
625
256
400
7
30
17
900
289
510
8
35
25
1225
625
875
9
40
22
1600
484
880
10
45
20
2025
400
900
Сумма
225
163
7125
2979
4375
Среднее
22,5
16,3
712,5
297,9
437,5
Тогда
.
Значит, уравнение линейной регрессии имеет вид:
.
Вычислим коэффициент корреляции по формуле:
.
Для применения формулы составим вспомогательную табл. 3:
Таблица 3
Вспомогательная таблица для расчета коэффициента корреляции
Номер
Х
Y
2
1
0
5
- 22,5
506,25
-11,3
127,69
2
5
10
-17,5
306,25
-6,3
39,69
3
10
12
-12,5
156,25
-4,3
18,49
4
15
16
-7,5
56,25
-0,3
0,09
5
20
20
-2,5
6,25
3,7
13,69
6
25
16
2,5
6,25
-0,3
0,09
7
30
17
7,5
56,25
0,7
0,49
8
35
25
12,5
156,25
8,7
75,69
9
40
22
17,5
306,25
5,7
32,49
10
45
20
22,5
506,25
3,7
13,69
Сумма
225
163
2062,5
322,1
Среднее
22,5
16,3
Тогда коэффициент корреляции найдется следующим образом: