Высшая математика
1. Вычислить площадь области, заданной неравенствами:
(х + r)2 + у2 ? r2, у ? 0, 2х + 2r ? у, перейдя предварительно к полярным координатам.
Решение. Переходим к полярным координатам по формулам
х + r = , у =
Теперь область задаётся неравенствами
0 ? ? arctg 2, 0 ? ? r.
Её площадь равна повторному интегралу
.
2. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферических координатах).
,
где V – область, заданная неравенствами:
х2 + у2 + z2 ? 4R2, х2 + z2 ? 2Rх, у ? 0.
Решение. Переходим к цилиндрическим координатам по формулам
х = , z = .
Теперь область V задаётся неравенствами
Тройной интеграл равен повторному интегралу
2=
Дискретная математика
Тема: «Основные понятия теории множеств».
1. Пусть R – множество вещественных чисел, х = ,
у = .
Что представляют собой множества XY, XY, X/Y?
Решение. XY = {xR, 0 ? x ? 2} = Y$
XY = {xR, 0 ? x ? 1} = x,
X/Y = X= О – пустое множество.
2. Пусть Х = {-1, -2, -3, 1, 2, 3, 0} и Y – множество всех натуральных чисел. Каждому числу хХ ставиться в соответствие его квадрат. Выпишите все пары, принадлежащие этому соответствию.
Решение: (-1, 1), (-2, 4), (-3, 9), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (0, 0).
3. Определите свойства следующих отношений:
а) «прямая х пересекает прямую у» (на множестве прямых);
б) «число х больше числа у на 2» (на множество натуральных чисел);
в) «число х делится на число у без остатка» (на множестве натуральных чисел);
г) «х – сестра у» (на множестве людей).
Решение. а) антирефлексивно, симметрично, не транзитивно;
б) антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно;
в) рефлексивно, не антирефлексивно, не симметрично, антисимметрично, транзитивно;
г) не рефлексивно, антирефлексивно, не симметрично, не антисимметрично, транзитивно.
Тема: «Основы математической логики. Основы теории алгоритмов. Элементы комбинаторного анализа».
1. Определить, является ли справедливой приведённая формула алгебры высказываний, не прибегая к составлению таблицы истинности, а используя только свойства соответствующих операций.
,
где А, В, С, D, Е – простые высказывания.
Решение. По правилу Моргана получаем
= .
Нет совпадения с первой частью, так что приведённая формула не является справедливой.
2. Для указанных функций трёх переменных: f (х1, х2, х3) – принимаем единичные значения на наборах № 0, 1, 3, 6, 7.
- составить таблицу истинности;
- определить, к каким классам булевых функций она относится;
- записать совершенные ДНФ и КНФ;
- найти минимальную ДНФ;
- для полученной минимальной ДНФ построить логическую схему в базисах:
а) {, -} (дизъюнкция, отрицание);
б) {, -} (конъюнкция, отрицание).
Решение. Составим таблицу истинности для функции f и двойственной функции f*.
№
х1
х2
х3
f
f*
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
2
0
1
0
0
1
3
1
0
0
1
1
4
0
1
1
0
0
5
1
0
1
0
1
6
1
1
0
1
0
7
1
1
1
1
0
Функция f не сохраняет 0, сохраняет 1, не является самодвойственной, не является монотонной, не является линейной.
Совершенная ДНФ для функции f имеет вид
Совершенная КНФ для функции f имеет вид
Если отказаться от совершенности ДНФ, то она принимает более простой вид
Полученная минимальная ДНФ допускает два представления:
а)