Задача 1.
1.1 Выяснить, существует ли связь между потреблением дизельного топлива (y) и объёмом валовой продукции (). (Для этого построить поле рассеяния. На основе его визуального анализа выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости y от ). Найти точечные оценки неизвестных параметров модели. Выяснить, существует ли связь между потреблением дизельного топлива (y) и объёмом капитальных вложений (). Найти оценки неизвестных параметров модели.
Годы
Валовая продукция промышленности
( млрд. р.)
Объём капитальных вложений
( млрд. р.)
Объём потребления дизельного топлива
(y млн. т.)
1985
7.1
4.9
1.6
1986
6.9
4.8
1.5
1987
6.8
4.7
1.5
1988
6.8
4.6
1.5
1989
7
4.7
1.6
1990
7.1
4.9
1.6
1991
7.2
5.1
1.7
1992
7.5
5.4
1.7
1993
7.7
5.7
1.7
1994
7.8
5.8
1.8
1995
7.8
5.6
1.8
1996
7.7
5.5
1.6
1997
7.9
5.9
1.8
1998
8
5.8
1.9
1999
8
5.8
1.8
2000
7.9
6
1.8
Решение: По исходным данным построим поля рассеяния переменной у в зависимости от и , нанесем линии тренда и эллипсы рассеяния
Вид полей и эллипсов рассеивания позволяют выдвинуть гипотезу о том, что зависимость потребления дизельного топлива (y) от объёмов продукции () описывается линейной моделью вида:
где и - неизвестные постоянные коэффициенты, а e – случайное отклонение, вызванное влиянием неучтённых факторов и погрешностями измерений.
Аналогично, между y и зависимость описывается моделью:
Найдем уравнения линейной регрессии
и
неизвестные коэффициенты находятся по формулам (используя метод наименьших квадратов (МНК)):
.
.
Найдет сначала коэффициенты первого уравнения. Вычисления поясним с помощью таблицы:
y
1
7.1
4.9
1.6
50.41
24.01
11.36
7.84
34.79
2.56
2
6.9
4.8
1.5
47.61
23.04
10.35
7.2
33.12
2.25
3
6.8
4.7
1.5
46.24
22.09
10.2
7.05
31.96
2.25
4
6.8
4.6
1.5
46.24
21.16
10.2
6.9
31.28
2.25
5
7
4.7
1.6
49
22.09
11.2
7.52
32.9
2.56
6
7.1
4.9
1.6
50.41
24.01
11.36
7.84
34.79
2.56
7
7.2
5.1
1.7
51.84
26.01
12.24
8.67
36.72
2.89
8
7.5
5.4
1.7
56.25
29.16
12.75
9.18
40.5
2.89
9
7.7
5.7
1.7
59.29
32.49
13.09
9.69
43.89
2.89
10
7.8
5.8
1.8
60.84
33.64
14.04
10.44
45.24
3.24
11
7.8
5.6
1.8
60.84
31.36
14.04
10.08
43.68
3.24
12
7.7
5.5
1.6
59.29
30.25
12.32
8.8
42.35
2.56
13
7.9
5.9
1.8
62.41
34.81
14.22
10.62
46.61
3.24
14
8
5.8
1.9
64
33.64
15.2
11.02
46.4
3.61
15
8
5.8
1.8
64
33.64
14.4
10.44
46.4
3.24
16
7.9
6
1.8
62.41
36
14.22
10.8
47.4
3.24
сумма
119.2
85.2
26.9
891.08
457.4
201.19
144.09
638.03
45.47
Средние
7.45
5.325
1.68125
n=16,
Тогда
Таким образом,
.
Правильность вычисления коэффициентов этого уравнения подтверждается данными графика
Аналогично находятся оценки коэффициентов модели
а именно,
1.2. По найденным в п. 1.1. уравнениям регрессии построить доверительные интервалы потребления дизельного топлива, соответствующие вероятности 0,9 при следующих значениях независимой переменной: Построить доверительную полосу для уравнения регрессии. Изобразить на графике поля рассеяния, прямые регрессии и доверительные полосы.
Решение.
Доверительные интервалы среднего потребления дизельного топлива для уравнения парной линейной регрессии находятся по формуле
где соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала; значение независимой переменной для которого определяется доверительный интервал, квантиль распределения Стьюдента, доверительная вероятность, (n-2) – число степеней свободы;
, ,
Сначала рассмотрим уравнение . По условию задачи число степеней свободы 16 тогда, по таблице распределения