Geum.ru



ГОТОВЫЕ ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ, КУРСОВЫЕ РАБОТЫ, ДИССЕРТАЦИИ И РЕФЕРАТЫ

Метод наименьших квадратов (МНК).

Автор www.zaochnik.com
Вуз (город) РЭА Плеханова
Количество страниц 18
Год сдачи 2006
Стоимость (руб.) 500
Содержание Введение…………………………………………………………………………..2
1. Обобщенный МНК……………..………………………………………….5
2. Простейший случай двумерной регрессии………………………………7
3. Примеры применения МНК……………………………………………...10
Заключение……………………………………………………………………….16
Литература……………………………………………………………………....17
Список литературы 1. Эконометрика. \Под. ред. И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 344.
2. www.exponenta.ru
Выдержка из работы Введение.
Пусть изучается некоторое явление или процесс и требуется установить зависимость между двумя величинами. Например, зависимость силы тока I от напряжения U (при заданном сопротивлении); зависимость скорости звука в воде от её температуры. Возможно, что зависимость между величинами выражается формулой, которая выведена теоретически: например, длина пути, пройденного свободно падающим телом в пустоте , период колебания маятника .
Во многих случаях такой формулы нет, зависимость между двумя величинами устанавливается только путём измерений. В результате измерений получаем таблицу:
Чтобы получить более ясное представление о законе зависимости, на основании результатов измерений будем стремиться получить формулу, приближённо выражающую эту зависимость. Полученная таким образом формула называется эмпирической формулой.
Идея построения эмпирической формулы (по опытным данным) состоит в следующем: подобрать такую функцию достаточно простого вида, чтобы значения этой функции были близки к значениям полученным из опыта. Нахождение эмпирической формулы начинается с построения точечного графика. Из двух измеряемых величин одну будем считать аргументом, другую - функцией. По результатам измерений на плоскости координат строим точки.
Рис. 1.
Глядя на точечный график, чертим плавную линию (на глаз) так, чтобы точки были близки к ней и располагались по обе стороны от неё. Мы не должны стремиться к тому, чтобы плавная линия проходила через опытные точки, так как результаты измерений приближённые числа. Они содержат погрешность измерения, которая может быть со знаком "+" и "-", т.е. точки могут быть и выше и ниже истинного графика. Далее, рассматривая непрерывный график, мы должны сделать предположение (высказать гипотезу) о том, каков вид функции графиком которой он является. И затем определить значение параметров функции. Обозначим эту функцию .
Задача заключается в следующем: найти функцию , заданного вида, которая в точках принимает значения как можно более близкие к значениям . Обозначим , эти значения нам неизвестны, так как сама функция ещё неизвестна. Можно рассматривать совокупность значений и как координаты двух точек n - мерного пространства. И задачу можно сформулировать так: найти функцию заданного вида , чтобы расстояние между точками , было наименьшим. Мы воспользуемся метрикой n - мерного Евклидова пространства, в котором расстояние между точками определяется так:
Эта величина должна быть наименьшей, что равносильно тому, что выражение
должно быть наименьшим
1. Обобщенный МНК.

Рассмотрим простейший вариант МНК: представление теоретической зависимости в виде линейной комбинации известных, выбранных заранее функций, которые называют базисными:
y = b1φ1(x) + b2φ2(x) + ... + bmφm(x). (1)
Здесь b1, b2, ..., bm − определяемые по МНК коэффициенты, а φ1(x), φ2(x), ..., φm(x) − заранее выбранные из теоретических соображений функции (базисные), которые должны быть линейно-независимыми на множестве точек x1, x2, ..., xn. Выберите необходимые базисные функции и добавьте их к модели.
Согласно МНК коэффициенты модели (1) находятся из условия:
L(b1,b2, ..., bm) = ∑ (yi − b1φ1(xi) − b2φ2(xi) − ... − bmφm(xi))2 → min. i=1 n (2)
Данная функция является квадратичной относительно b1, b2, ..., bm. Вычисляя частные производные и приравнивая их нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно b1, b2, ..., bm:
(3)
Если базисные функции линейно-независимые, то эта система имеет единственное решение: коэффициенты модели b1, b2, ..., bm. Найдём их и построим график, на котором покажем экспериментальные точки и найденную теоретическую кривую.