ГОТОВЫЕ ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ, КУРСОВЫЕ РАБОТЫ, ДИССЕРТАЦИИ И РЕФЕРАТЫ
Несобственные интегралы | |
Автор | Лена Михалькова |
Вуз (город) | Москва |
Количество страниц | 15 |
Год сдачи | 2007 |
Стоимость (руб.) | 500 |
Содержание | Введение………………………………………………………………..………….3
1. Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерии Коши сходимости несобственного интеграла……...…4 Несобственные интегралы первого рода…………..…….4 Несобственные интегралы второго рода…………..…….6 Критерии Коши сходимости несобственного интеграла…………….…7 2. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы………....8 3. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов…...10 4. Эталонные интегралы……………………………………………………..12 5. Заключение………………………………………………………………...14 Литература…………………………………………………………………....15 |
Список литературы | 1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ч.1. –М., Наука, 1980.
2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. –М., Наука, 1989. 3. Зорич В.А. Математический анализ.Ч.1.- М., Наука, 1984. 4. Гусак А.А., Гусак Г.М., Ьричикова Е.А. Справочник по высшей математике.- Мн., ТетраСистемс, 2004. |
Выдержка из работы | Введение
При введении понятия определенного интеграла вида предполагалось, что выполняются следующие условия: 1. пределы интегрирования и являются конечными; 2. подынтегральная функция ограничена на отрезке . В данном случае определенный интеграл называется собственным. Другими словами, определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций. Если хотя бы одно из условий 1.- 2. не выполняется, то интеграл называется несобственным. В данной работе рассмотрим несобственные интегралы по неограниченному промежутку и от неограниченной функции и методы исследования их на сходимость. 1. Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерии Коши сходимости несобственного интеграла 1.1 Несобственные интегралы первого рода Пусть функция непрерывна при любом . Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом: (1.1) Предположим, что при функция (1.1) имеет конечный предел, этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от функции по промежутку и обозначается так: (1.2) Если предел (1.2) не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся. Геометрически интеграл от неотрицательной функции выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева – отрезком прямой , снизу – осью (рис.1); в случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной, в случае расходящегося – бесконечной. Рис.1 Если первообразная для , то , где . Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами , где любая точка из интервала . Несобственные интегралы второго рода Если функция неограниченна в окрестности точки отрезка и непрерывна при и , то несобственный интеграл от этой функции определяется формулой , (1.3) где . В случае или получаем (1.4) (1.5) Несобственные интегралы (1.4) и (1.5) называются сходящимися, если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла; в противном случае интегралы называются расходящимися. Несобственный интеграл (1.3) называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части. Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при ) исчерпание площади неограниченной фигуры под графиком функции над с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком , а затем приближением правого конца к точке (см. рис.). 1.3 Критерии Коши сходимости несобственного интеграла Для несобственного интеграла второго рода: 1). Пусть функция определена на промежутке ) , причем существует собственный интеграл , тогда: интеграл сходится тогда и только тогда, когда выполняется условие: : . Для несобственного интеграла второго рода: 2). Пусть функция определена на полуинтервале ), причем существует собственный интеграл , тогда интеграл сходится тогда и только тогда, когда выполняется условие 2. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы Рассмотрим несобственные интегралы: ( ) (2.1) ( ) (2.2) Если несобственный интеграл (2.1) сходится, то несобственный интеграл (2.2 )называется абсолютно сходящимся. Если несобственный интеграл (2.1) расходится, а несобственный интеграл (2.2) сходится, то несобственный интеграл (2.2) называется условно сходящимся. |