ГОТОВЫЕ ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ, КУРСОВЫЕ РАБОТЫ, ДИССЕРТАЦИИ И РЕФЕРАТЫ
Численные методы 4 контрольных работы | |
| Автор | Наталья |
| Вуз (город) | Московский |
| Количество страниц | 33 |
| Год сдачи | 2009 |
| Стоимость (руб.) | 1200 |
| Содержание | Четыре контрольных работы, содержащие как теоритические вопросы, так и решение задач. |
| Список литературы | нет |
| Выдержка из работы | Контрольная работа №1
1. Метод хорд. Дайте геометрическую интерпретацию метода хорд. Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения , изолированный на отрезке . Рассмотрим график функции . Пусть и . Точки графика и соединим хордой. За приближенное значение искомого корня примем абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох. 2. Связь абсолютной и относительной погрешности числа с количеством верных цифр этого числа. Погрешности округления возникают из-за того, что все вычисления выполняются с ограниченным числом цифр, т.е. производится округление чисел. Погрешности округления могут накапливаться и при плохой обусловленности задачи могут привести к очень большим погрешностям. 3. Метод итераций для решения уравнений с одним неизвестным. Достаточные условия сходимости итерационного процесса. Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду (*) 4. Комбинированный метод. Дайте геометрическую интерпретацию комбинированного метода. Пусть требуется найти действительный корень уравнения , изолированный на отрезке . Предполагается, что и имеют разные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке такую точку , что и имеют одинаковые знаки. 5. Произвести действие над приближенными числами, в которых все знаки верные в узком смысле: 6. Вычислить два числа и при . Какой из результатов будет точнее и во сколько раз? 7. Оцените относительную погрешность разности двух приближенных чисел и , если абсолютные погрешности этих чисел равны . Объясните результат. Найдем относительные погрешности данных чисел: 8. Представить алгоритм метода дихотомии в форме блок-схемы или в форме последовательного выполнения шагов итерационного процесса. Метод дихотомии - деление отрезка пополам 9. Требуется измерить с точностью в 1% площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы основания которого приблизительно равны 2 и 1 метр и образующая приблизительно 5 м. С какой АП погрешностью нужно для этого измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками нужно взять число ? Контрольная работа №2 1. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простой итерации. Достаточные условия сходимости. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида 2. Метод декомпозиции вычисления определителя. Пусть - данная матрица, а и соответственно нижняя (левая) и верхняя (правая) треугольные матрицы. Справедлива теорема: Если все главные миноры квадратной матрицы А отличны от нуля, то существуют такие нижняя L и верхняя U треугольные матрицы, что А=LU. Если элементы диагонали одной из матриц L или U фиксированные (ненулевые), то такое разложение единственно. Пусть диагонали нижней треугольной матрицы L фиксированы, тогда 3. Собственные числа и собственные векторы матрицы. По определению, собственными значениями квадратной матрицы А называют числа , удовлетворяющие соотношению Ax=. x, (1), где х - собственный вектор. Перепишем (1) в виде (A- Е)х=0. (2) 4. Методы спуска. Метод покоординатного спуска. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Ах=b (*) с симметричной положительно определенной матрицей , n×n; b -n-мерный вектор. 5. Решить системы нелинейных уравнений методом скорейшего спуска 6. Найти собственные числа и собственные вектора матрицы и произвести проверку Контрольная работа №3 1. Интегральное квадратичное аппроксимирование функций на отрезке. На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами. 2. Ортогональные системы функций. Примеры ортогональных функций. Две вещественные функции и на интервале [a,b] называются ортогональными, если . 3. Основная идея построения формул численного дифференцирования. Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке. Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования. 4. Материальная точка движется прямолинейно. Закон движения представлен в виде таблицы: Найти скорость и ускорение т. М в момент сек. 5. Составить алгоритм численного дифференцирования табличной функции с помощью полинома Лагранжа. Интерполяционный полином Лагранжа для функции на произвольной неравномерной сетке имеет вид: 6. Построить интерполяционные полиномы Ньютона 1-го и 2-го порядка для функции , заданной таблично на равномерной сетке Вычислить значения полинома и погрешности в точках: а) б) Контрольная работа №4 1. Квадратурная формула Гаусса. Остаточный член. Формула Гаусса для произвольного интервала . Полиномы вида , n=0,1,2,… называются полиномами Лежандра. Свойства полиномов Лежандра: 2. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. Интегральные уравнения, уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Вообще, линейным интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида 3. Схема Рунге-Кутта четвертого порядка. Пусть функция определяется дифференциальным уравнением при начальном условии . При численном интегрировании такого уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка определяют четыре числа: 4. Решить методом Рунге-Кутта 2-го порядка уравнение: . Для решения задачи будем использовать следующую схему одного этапа перехода от к : 5. Найти приближенное решение методом последовательных приближений уравнения . Оценить погрешность и найти значения , при которых решение сходится. Данное уравнение есть уравнение Фредгольма 2-го рода. Положим 6. Решить методом Рунге-Кутта 2-го порядка уравнение: . Для решения будем использовать ту же схему что и в задаче 4. Заполним расчетную таблицу: |