ГОТОВЫЕ ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ, КУРСОВЫЕ РАБОТЫ, ДИССЕРТАЦИИ И РЕФЕРАТЫ
Интегралы | |
Автор | ошибка |
Вуз (город) | Мос. Инст. Управл |
Количество страниц | 23 |
Год сдачи | 2008 |
Стоимость (руб.) | 1500 |
Содержание | Введение
-Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу [1-4]. Составим и решим задачу, раскрывающую экономический смысл определенного интеграла [2]. Пусть функция z=f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0; T]. Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(t) – постоянная функция), то объем продукции Δu, произведенной за некоторый промежуток времени [t, t+Δt], задается формулой Δu= f(t) Δt. В общем случае справедливо приближенное равенство Δu= f(ξ) Δt, где ξ [t, t+Δt], которое оказывается тем более точным, чем меньше Δt. Разобьем отрезок [0; T] на промежутки времени точками: 0=t0 |
Список литературы | 1. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс. – СПб.: Издательство «Лань», 2004. – 960с.
2. Высшая математика для экономистов. Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471с. 3. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. В 2-х т.: Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. – Висагинас: «Alfa», 1998. – 384с. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1. – М.: Наука, 2002. – 456с. 5. Практикум по высшей математике для экономистов. Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 423с. |
Выдержка из работы | Основные методы решения определенных интегралов.
1. Непосредственное интегрирование. Этот способ основан на использовании свойств определенного интегра-ла, приведении подынтегрального выражения к табличной форме путем тож-дественных преобразований и применении формулы Ньютона-Лейбница. 2. Интегрирование подстановкой. Для решения определенного интеграла методом подста-новки заменяют g(x)=t; dt=g'(x)dx и находят пределы изменения переменной t при изменении x от a до b из соотношений: g(a)=α и g(b)=β. Тогда = , где F(t)-первообразная функции f(g(x))=f(t). 3. Интегрирование по частям. При этом способе используют формулу: (**) Подробные рекомендации по решению интегралов по частям даны в описании этого метода применительно к неопределенным интегралам. Рассмотрим решение типовых задач. Задача 1. Вычислить Решение. Данный интеграл решим непосредственным интегрировани-ем. Сначала преобразуем подынтегральное выражение: = . Применим свойства 6 и 5, в результате чего получим Так как оба интеграла табличные, записываем первообразные функции и применяем формулу Ньютона-Лейбница: Задача 2. Вычислить Решение. Решаем интеграл методом подстановки. Введем новую пере-менную t=4-x и продифференцируем данное равенство: dt=d(4-x); dx=-dt. Найдем новые пределы интегрирования из соотношения t= 4-x: при x1=0 по-лучаем t1=4, при x2=2 получаем t2=2. Делаем замену переменной в заданном интеграле: Избавимся от знака минус перед интегралом, воспользовавшись свой-ством 3: Задача 3. Вычислить Решение. Будем решать интеграл методом интегрирования по частям. Обозначим lnx=u, dx=dv и найдем du=d(lnx)=dx/x и v=∫dx=x. Применяя к за-данному интегралу формулу интегрирования по частям, получим . Рассмотрим задачи на геометрические приложения определенного ин-теграла. Задача 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций Y=x-x2, y=0. Решение. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функ-ции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью OX, равна Найдем координаты точек пересечения графиков: x-x2=0, x1=0, x2=1. A(0,0), B(1,0). Преобразуем уравнение параболы. Y=-(x2-x+1/4)+1/4, y-1/4=-(x-1/2)2. Задача 5. Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Решение. Найдем точки пересечения кривых. Решаем биквадратное уравнение. т.к. значение должно быть положительным, Таким образом, Ординаты этих значений равны: Вычислим площадь фигуры: ед2. Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями Решение. Построим графики заданных функций. Рис. 6. Т.к. фигура лежит ниже оси ОХ, формула вычисления площади имеет вид: Первое слагаемое есть площадь прямоугольника со сторонами 4 и 2, т.к. при y=-2 x=4, т.е. M(4; -2) – точка пересечения линий. Задача 7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограни-ченной линиями y=e-x, y=0, x=0, x=1 вокруг оси OX. Решение. Используем формулу вычисления объема тела вращения: (2) Тогда, по формуле (2), искомый объем Задача 8. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: Решение. Интеграл имеет особенность в точке x= , т.к. . Разложим подинтегральную дробь на простейшие. |