Уравнение имеет решение:
Получаем следующий вектор-столбец:
Свободный член 2,518
X 1 0,067
X 2 0,053
X 3 -0,007
У=0,067х1+0,053*х2-0,007х3+2,518
2. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.
Влияние факторов Х на показатель Y оценивается с помощью коэффициентов эластичности Эj
Коэффициенты эластичности Эj показывают, на сколько процентов изменится значение переменной Y при изменении Хj на 1%.
Средние значения:
X1=37,725
X2=24,11
X3=146,06
У=5,365
Тогда коэффициенты эластичности будут равны:
Вычисление коэффициентов элластичности показало, что переменная У изменяется гораздо быстрее при изменении переменных Х, особенно большое влияние оказывает переменная х1.
Обычно, степень зависимости двух или более предикторов (независимых переменных X) с зависимой переменной (Y) выражается с также помощью коэффициента множественной корреляции R. По определению он равен корню квадратному из коэффициента детерминации. Это неотрицательная величина, принимающая значения между 0 и 1.
В нашем случае R =0,188, что говорит о малой связи между факторами.
Для интерпретации направления связи между переменными смотрят на знаки (плюс или минус) регрессионных коэффициентов. Если коэффициент положителен, то связь этой переменной с зависимой переменной положительна; если коэффициент отрицателен, то и связь носит отрицательный характер. Конечно, если коэффициент равен 0, связь между переменными отсутствует.Таким образом, только коэффициент при переменной х3 является отрицательным, что можно интерпретировать так, что фактор 3 при росте играет на понижение результативного параметра у. то есть при росте численности служащих чистый доход снижается.
3. Оцените статистическую значимость уравнения в целом с помощью F- критерия.
Средствами регрессионного анализа вычисляется F-критерий значимости регрессии для уравнения в целом. Это рассчитанное по наблюденным данным значение Fp (F расчетный, наблюденный) следует сравнивать с соответствующим критическим значением Fk, (F критический, табличный). Fк выбирают из публикуемых статистических таблиц на заданном уровне вероятности (на том, на каком вычислялись параметры модели - 95%).
Вычисления показывают Fp = 0,195. Если наблюденное значение Fp окажется меньше критического значения Fk, то уравнение нельзя считать значимым. В иной терминологии об этом же может быть сказано: не отвергнута нуль-гипотеза относительно значимости всех коэффициентов регрессии в постулируемой модели, т. е. коэффициенты практически равны нулю.
4. Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью F- критерия.
F – критерий Фишера:
Коэффициент детерминации (R2):
Получаем при R2=0,0352
Если Fнабл> Fтаб, то уравнение регрессии значимо.
Если Fнабл > Fкр = Fтабл(0,95; n – 1; n – k – 1), где 0,95 – уровень доверительной вероятности, (n – 1) и (n – k – 1) степени свободы модели, то модель считается значимой, и принимается гипотеза о линейной регрессии между переменными Y и Xi, где Fтабл – табличное значение F-критерия Фишера.
Fтабл(0,95; 19; 16)= 3,734
Следовательно полученную модель нельзя считать значимой
5. Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, на их основе и по f-критерию для коэффициентов регрессии отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.
Таблица 2
Матрица парных коэффициентов корреляции
|
Х1 |
Х2 |
У |
|
|
Х1 |
1 |
||
|
Х2 |
0,942512 |
1 |
|
|
У |
0,969881 |
0,939768 |
1 |
Если парный коэффициент корреляции меньше 0,1, то связи нет если меньше 0,3, то связь слабая, если меньше 0,5, то связь умеренная, если меньше 0,7, то связь заметная. Если парный коэффициент корреляции меньше 0,9, то связь сильная, если меньше или равен 0,99, то связь весьма сильная, а при значении равном единице связь полная. Естественно в данном случае имеются ввиду соответствующие интервалы от предыдущего значения до следующего. Используя указанные правила построим таблицу 3.
Таблица 3
Матрица связи между факторами
|
Х1 |
Х2 |
У |
|
|
Х1 |
1 |
||
|
Х2 |
сильная |
1 |
|
|
У |
сильная |
сильная |
1 |
Частные коэффициенты корреляции:
ryx1/x2=0,736609
r yx2/x1=-0,096
ryx3/x2= -0,016
rх1х3/x3=0,522
rх2х3/x1=0,543
rх2х3/x1=-0,199
|
ryx1/x2 |
0,084138351 |
0,013047 |
0,114224 |
0,736609 |
rx1x2/x3 |
0,942512098 |
1 |
1 |
0,942512 |
|
ryx1/x3 |
0,969881436 |
1 |
1 |
0,969881 |
rx1x3/x2 |
0 |
0,111671 |
0,334172 |
0 |
|
ryx2/x1 |
0,025643412 |
0,006625 |
0,081397 |
0,315042 |
rx2x3/x1 |
0 |
0,111671 |
0,334172 |
0 |
|
ryx2/x3 |
0,939768399 |
1 |
1 |
0,939768 |
|||||
|
ryx3/x1 |
0 |
0,05933 |
0,243578 |
0 |
|||||
|
ryx3/x2 |
-0,883164643 |
0,116835 |
0,341812 |
-2,58377 |
|||||
|
rуx1/x2x3 |
0,736608549 |
-5,67589 |
#ЧИСЛО! |
#ЧИСЛО! |
|||||
|
rуx2/x1x3 |
0,315042 |
#ЧИСЛО! |
#ЧИСЛО! |
||||||
|
rуx3/x1x2 |
0 |
0,900749 |
0,949078 |
ryx1/x2х3= 0,137
ryx2/x1х3= 0,041
ryx3/x1х2= -0,086
Как видим, частные коэффициенты корреляции существенно отличаются от парных коэффициентов корреляции. Частные коэффициенты корреляции используют при выборе наилучшего уравнения регрессии методом исключения переменных. Вначале рассчитывается уравнение с полным набором переменных и далее из него последовательно исключаются факторы с минимальными значениями коэффициентов частной корреляции.
Как видно из результатов расчетов, нельзя выделить переменные для исключения из уравнения регрессии так как налицо очень слабая связь, что видно из анализа коэффициентов парной корреляции, и анализ частных коэффициенты корреляции показывает сильное взаимное влияние факторов. Однако можно попробовать исключить фактор 3, как имеющий наиболее слабую связь.
Получаем:
Fтабл(0,95; 19; 16)= 3,734
Следовательно полученную модель также нельзя считать значимой, что иследовало из результатов анализа
6. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80 % от их максимальных значений.
Таблица 4
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У проноз |
|
|
Максимальное значение факторов |
107,9 |
83,6 |
675 |
|
|
80 % от их максимальных значений |
86,32 |
66,88 |
540 |
8,290 |
7. Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.
Доверительный интервал совокупности У равен 5,365±5,169 т.е (0,196;10,534)
При дисперсии совокупности 11,795.
Таким образом, значение прогноза укладывается в доверительный интервал.
Список использованной литературы
1. Говорухин В., Цибулин В., Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс, -СПб.: Издательство "Питер". 2003.
2. Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ. 1997.
3. Количественный анализ хозяйственных операций и управленческих решений. –М.: "ДИС". 2004.
4. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем, -М.: "ДИС". 2004
5. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. – М.: Финансы и статистика, 1998.
6. Экономико-математические модели и методы / Под общей ред. А.В. Кузнецова. –Мн.: БГЭУ, 2000.