39.3. В правильной четырехугольной пирамиде высота равная 7 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

Основанием пирамиды является квадрат ABCD, ее ребра равны

АЕ = BE = CE = DE

О — проекция вершины Е па основание, и ОЕ — совпадает с точкой пересечения диагоналей, ОЕ = 7 см, угол ОAЕ равен 45° (рис. 80). Объем вычислим по формуле

1. Треугольник АОE прямоугольный и равнобедренный,
АО = ОЕ = 7 см,
значит, АС = 14 см.
2. Треугольник AВС прямоугольный,
равнобедренный и но теореме Пифагора

Получаем

3. Вычисляем объем:

39.4. Докажите, что площадь поверхности куба равна 2d², где (d — диагональ куба)

Пусть а — сторона куба (рис. 81). Площадь поверхности равна, площади шести квадратов со стороной а, т.е.

С другой стороны, из прямоугольных треугольников ABC и AA₁C

Так как A₁С - диагональ куба, то

d² = За² .

Выше получили

S = 6a²

значит,

S=2d²

Требуемое доказано.