Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле
![](images/206-9.jpg)
Около сферы можно описать многогранник с достаточно большим числом граней,
объем которого будет достаточно точно выражать объем шара (равного ),
а площадь боковой поверхности многогранника — площадь сферы. На рис. 43
показан куб, описанный около сферы. Рассмотрим одну грань описанного многоугольника.
Пирамида, полученная соединением вершин этой грани многогранника с центром
сферы, и часть шара, заключенного в этой пирамиде, являются элементами,
участвующими в дальнейших рассуждениях и расчетах.
С одной стороны, объем V этой пирамиды высотой R равен
![](images/212-9.jpg)
где Sоснов
— площадь соответствующей грани многогранника. Объем всего многогранника
равен сумме объемов таких пирамид с одинаковой высотой R. Сумма их объемов
равна
![](images/213-8.jpg)
Sбок
— площадь боковой поверхности многогранника. С другой стороны, сумма объемов
элементов шара равна объему всего шара, равного
![](images/214-9.jpg)
Площадь Sбок
приближенно равна площади сферы S, а объем многогранника
приближенно равен объему шара. Таким образом,
![](images/215-9.jpg) ![](images/216-10.jpg)
Эти равенства тем точнее, чем большее число граней многогранника. Значит,
![](images/217-11.jpg)
Так как в этой формуле но участвуют величины, связанные с многогранником,
то формула точна, т. е.
![](images/219-10.jpg)
|