ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Рычаги
Когда мы разламываем спичку, то, скажем, фиксируем один ее конец между пальцами, а на другой конец воздействуем некоторой силой. Спичка ломается в точке опоры под действием момента приложенной силы. Вспомним, что моментом силы называется произведение силы на плечо. А плечом называют кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы. Приблизительно можем считать, что в нашей задаче плечо — это длина спички от конца до точки опоры. Считаем спичку однородной, т. е. чтобы разломить ее в разных частях, требуется создать один и тот же момент силы. Так как произведение силы на плечо должно оставаться постоянным, то чем короче спичка (плечо), тем большую силу необходимо приложить, чтобы создать требуемый для перелома момент силы.
Дверь — это физическое тело, имеющее ось вращения. Чтобы заставить дверь вращаться, к ней необходимо приложить силу в определенном месте, которое будет определять момент силы, вращающей дверь. Важно понимать, что вращение любого тела возникает под действием именно момента сил, а не собственно сил. Это действие зависит как от величины силы, так и от ее плеча. (Моментом силы относительно оси вращения или точки опоры называют произведение величины силы на кратчайшее расстояние (плечо) от оси (или точки опоры) до линии, вдоль которой действует сила.) Например, если сила прикладывается к самой оси вращения, то никакого вращения тела вокруг этой оси происходить не будет. Ясно, что, желая открыть дверь, стараются приложить силу как можно дальше от оси вращения. При этом с помощью небольшой силы создается значительный вращающий момент. Этот момент необходимо создать не только для того, чтобы преодолеть сопротивление сил трения в петлях двери, но и чтобы преодолеть инерционность, свойственную всем физическим телам.
Замечание. Как известно, мерой инертности (инерционности) тел является масса. Для описания вращения тел вместо массы принято использовать так называемый момент инерции. Он учитывает форму тел. Чтобы раскрутить два тела, имеющие одинаковую массу, но разную форму, до одной и той же угловой скорости вращения, требуется приложить разные моменты силы. Вообще говоря, момент силы — векторная физическая величина, которая кроме абсолютного значения характеризуется еще и направлением действия. В школьном курсе физики момент силы считают для простоты скалярной величиной, а направление действия моментов различают, приписывая разные знаки моментам, вращающим тело по часовой стрелке и против направления ее движения.
Условие равновесия рычага гласит, что рычаг находится в равновесии, если приложенные к нему силы обратно пропорциональны их плечам. Из рис. 202 видно, что плечо АО меньше плеча ВО. Следовательно, сила, приложенная к точке А, должна быть больше силы, приложенной к точке В. На рисунке же силы изображены одинаковыми.
При подъеме груза на кран действует момент силы тяжести груза, который стремится опрокинуть кран в сторону груза. Величина этого момента равна произведению силы тяжести груза на плечо (расстояние по горизонтали от точки подъема груза до ближайшей точки опоры — колеса). Чем больше вынос стрелы крана (плечо), тем больше получается опрокидывающий момент. Таким образом, масса поднимаемого груза получается ограниченной не столько мощностью лебедки и прочностью тросов, сколько устойчивостью крана во время работы. Можно сказать, что кран представляет собой своеобразный рычаг 1 рода, точкой опоры которого являются ближайшие к грузу колеса, а плечами — стрела и корпус крана. Момент, создаваемый корпусом крана, должен несколько превосходить момент, создаваемый стрелой. Тогда кран будет устойчиво стоять на четырех колесах. Чтобы увеличить массу поднимаемого груза, на кране устанавливают противовес. Он создает момент силы, который уравновешивает в значительной степени опрокидывающий момент стрелы с грузом. Массу противовеса и место его расположения выбирают так, чтобы он не опрокидывал порожний кран. Таким образом установка противовеса позволяет увеличить массу поднимаемого груза.
а) Точка опоры — место подвеса весов. Плечи рычага приблизительно считаем равными половине его длины. Силы направлены вниз:
б) точка опоры — конец стержня, лежащий на столе. Одно плечо равно расстоянию от точки опоры до точки подвеса груза, второе плечо равно длине стержня. Сила со стороны груза действует вниз, а сила со стороны пальца — вверх;
в) точка опоры — конец стержня, упирающийся в крышку стола. Одно плечо равно расстоянию от точки опоры до места обхвата стержня рукой. Второе плечо равно расстоянию от точки опоры до точки подвеса груза. Сила со стороны руки направлена вверх, а сила со стороны груза — вниз;
г) точка опоры — локтевой сустав. Одно плечо — расстояние от сустава до центра ладони, второе плечо — расстояние от сустава до места прикрепления мышцы. Сила со стороны мышцы направлена вверх, а со стороны шара — вниз;
д) ось вращения — ось резьбовой шпильки. Одно плечо равно расстоянию от оси шпильки до места обхвата ключа рукой. Другое плечо примерно равно радиусу шпильки. Сила трения между гайкой и шпилькой направлена в сторону, противоположную направлению вращения гайки (направлению силы со стороны руки);
е) точка опоры — место, где доска опирается о козлы. Левое плечо — расстояние от точки опоры до точки, лежащей между детьми. Правое плечо — расстояние от точке опоры до мальчика. Обе силы направлены вниз;
ж) ось вращения (точка опоры) — ось, за которую ручка крепится к насосу. Левое плечо — расстояние по горизонтали от точки опоры до штока поршня насоса. Правое плечо — расстояние вдоль ручки от точки опоры до места обхвата ручки насоса рукой. Сила со стороны штока направлена вертикально. Сила со стороны руки направлена перпендикулярно ручке. Обе силы направлены либо вверх, либо вниз;
з) точка опоры — ось крепления линейки к штативу. Одно плечо равно 4 делениям, а второе — 6. Сила со стороны грузиков направлена вниз, а со стороны динамометра — вверх.
Ножницы представляют собой как бы два рычага, скрепленных на общей оси вращения. К одному концу этих рычагов прикладывается сила со стороны руки человека, а к другому — сила сопротивления со стороны разрезаемого предмета. Точка приложения силы сопротивления находится в месте соприкосновения лезвий ножниц и перемешается от оси вращения к концам лезвий по мере смыкания концов ножниц. Таким образом, соотношение плеч рычагов меняется в процессе резки. Разрезание бумаги и ткани не требует значительных усилий. Поэтому соотношение плеч (короткие ручки и длинные лезвия) подобрано таким образом, чтобы усилий пальцев рук хватало для удобной работы, а длинные лезвия позволяют за один раз сделать большой непрерывный надрез. Разрезание листового металла требует больших усилий, поэтому соотношение плеч (длинные ручки и короткие лезвия) подобрано так, чтобы получить выигрыш в силе за счет короткого разреза. При этом усилий рук хватает, чтобы преодолеть сопротивление металла.
Как уже говорилось в предыдущей задаче, работу ножниц можно описать, представляя их в виде двух рычагов, скрепленных на общей оси вращения. Ручки ножниц (одно плечо) имеют фиксированную длину. Второе плечо этих рычагов — переменное. Оно равно расстоянию от оси ножниц до точки резания. Именно в этом месте приложена сила сопротивления разрезаемого материала. Во время резания рычаги находятся как бы в равновесии. То есть момент силы давления со стороны руки равен или превосходит момент силы сопротивления материала. По мере резания момент силы сопротивления (она постоянна) увеличивается за счет увеличения плеча (точка резания перемещается от оси ножниц к концам лезвий). Соответственно должен увеличиваться и момент силы давления руки. Но он может увеличиваться только за счет увеличения величины силы (плечо постоянно). Поэтому наименьшую силу нужно прикладывать, когда картон расположен ближе к середине, а не к концам ножниц.
Для того, чтобы затянуть гайку, необходимо создать определенный момент сил. Обычно прикладывают пару сил на противоположных концах гайки. Парой сил называют систему из двух сил, которые численно равны друг другу и направлены вдоль параллельных прямых в противоположные стороны. Момент пары сил F равен М = Fd, где d — плечо пары, кратчайшее расстояние между линиями действия сил. Чем больше плечо d, тем меньшую пару сил F необходимо приложить, чтобы затянуть гайку. Для этой цели на гайке-барашке и делают лопасти. Усилий пальцев при этом хватает, чтобы затянуть гайку, не используя ключи.
Мы знаем, что рычаг находится в равновесии, если момент силы, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки. Момент силы равен произведению величины силы на плечо. На рис. 206, а левое плечо рычага равно 1 делению, правое — 3 делениям. Поэтому мы можем записать равенство 1 • 3 Н = 3 • F. Отсюда сила Г— 1 Н. На рис. 206, б левое плечо равно 2 делениям, правое — 1 делению. Слева подвешен груз массой 5 кг. Он действует на рычаг силой своего веса mg = 5 кг • 10 м/с5 = 50 Н. Таким образом, из условия равновесия получаем: 50 Н • 2 = F • 1. Отсюда F= 100 Н.
Ответ: а) 1 Н; б) 100 Н.
Судя по рисунку, грузы имеют одинаковый объем. Значит, при погружении в воду на них будут действовать одинаковые выталкивающие силы. В воздухе система грузов находится в равновесии. Левое плечо рычага L1= 1 дел., правое плечо L2 = 3 дел.
Условие равновесия: 3 Н • L1 = 1 Н • L2.
В воде вес грузов уменьшится на величину выталкивающей силы FB: P1 = 3 Н - FB и Р2 = 1 Н - FB.
Момент силы, вращающей рычаг против часовой стрелки, станет равным
Поскольку L2 больше, чем L1, то разность моментов больше нуля. Таким образом, момент М1 больше момента M2. Равновесие нарушится и груз 3 Н опустится вниз.
Ответ: перетянет груз с надписью 3 Н.
На рис. 208 нанесены разные обозначения: 19,6 Н обозначает величину приложенной силы, а 1 кг обозначает массу подвешенного груза. Груз действует на правое плечо рычага силой своего веса
P=mg=1 кг • 9,8 м/с5 = 9,8 Н.
Измерив плечи рычага, находим, что правое плечо рычага в два раза больше левого.
Запишем это условие: Lп = 2Lл
Момент силы, вращающей рычаг против часовой стрелки, равен Мп = 19,6 Н • Lл
Момент силы, вращающей рычаг по часовой стрелке, будет Мп = 9,8 Н • Lл = 9,8 Н • 2Lл = 19,6 Н • Lл = Mл. Таким образом, мы получили равенство Мп = Мд, т. е. получили условие равновесия рычага. Значит, система находится в равновесии.
Если взяться за край ручки тисков, то увеличится момент силы затяжки, так как увеличится плечо силы.
В принципе, эта задача решается так же, как задача 736, б. Давайте для разнообразия решим ее, используя не правило моментов, а правило рычага. Оно гласит, что рычаг находится в равновесии, если приложенные к нему силы обратно пропорциональны их плечам:
Рычаг разбит на 6 делений. Значит, длина одного деления равна 60 см : 6 = 10 см. На рис. 210 изображен рычаг || -го рода. Условие его равновесия проще записывать через правило моментов. Сила F вращает рычаг против часовой стрелки. Ее момент равен M1 = F • L1= F • 30 см. Груз своим весом Р вращает рычаг по часовой стрелке. Его момент равен M2 = P • L2 = 2 Н • 10 см. По условию равновесия М1 = М2 или F • 30 см = 2 Н • 10 см. Отсюда F = 2 Н : 3 = 0,7 Н.
Пусть длина левого плеча L1 = 20 см, а длина правого плеча равна L2. Нам нужно узнать величину L= L1 + L2.
Динамометр растянут на 6 делений. Левое плечо рычага равно 6 делениям и к нему подвешен груз весом 2 Н. Правое плечо рычага равно 2 делениям. Пусть со стороны пружины динамометра на рычаг действует сила F. Тогда из условия равновесия по правилу моментов получаем равенство 6 дел. • 2 Н = 2 дел. • F. Таким образом F= 6 Н и цена деления динамометра 6 Н : 6 = 1 Н.
Из рис. 213 видно, что отношение плеч рычага равно
Пусть со стороны динамометра на рычаг действует сила F. На рис. 214, а показан рычаг первого рода. Видно,
что отношение плеч рычага равно
Из условия равновесия отношение приложенных сил будет
Получаем F = 110 Н. Динамометр растянут на 11 делений. Значит, цена деления 110 : 11 = 10 Н. На рис. 214, б представлен рычаг второго рода. Сила в 10 Н вращает его против часовой стрелки. Плечо этой силы равно 12 делениям, а момент — 10 Н • 12 дел. Сила F со стороны динамометра вращает рычаг по часовой стрелке. Ее плечо равно 2-м делениям, а момент составляет F• 2 дел. По условию равновесия 10 Н • 12 дел. — F• 2 дел. Находим F = 60 Н. Динамометр растянут на 6 делений, следовательно, цена деления 60 Н : 6= 10 Н.
Ответ; а) 10 Н; б) 10 Н.
Общий вес грузов составляет 3 Н. Плечо, на которое действует вес грузов, равно 4 делениям. Пусть со стороны динамометра на рычаг действует сила F. Найдем ее, используя правило моментов. Плечо силы F равно 6 делениям. Отсюда 6 дел. • F= 4 дел. • 3 Н. Получаем, что F= 2 Н. По третьему закону Ньютона сила, с которой динамометр действует на рычаг (приложена к рычагу), равна по величине силе, с которой рычаг действует на пружину (приложена к пружине). Таким образом, пружина натянута с силой 2 Н.
Примечание. В этой задаче (и в других подобных с симметричным рычагом) весом рычага можно пренебрегать, а можно и не пренебрегать, так как симметричный рычаг и в отсутствие приложенных сил находится в равновесии. Следовательно, собственные моменты сил тяжести правой и левой его половин равны. При составлении уравнения моментов приложенных к рычагу сил эти собственные моменты сил тяжести войдут в правую и левую половины равенства в качестве дополнительных слагаемых и сократятся.
Ответ: 2 Н.
