Линейные и квадратичные неравенства. Решение рациональных неравенств

• Неравенство вида

называется линейным неравенством. Его решение и графическая иллюстрация приведены на рис. ниже.

Выпишите самостоятельно решения линейного неравенства при других знаках неравенства.

Решите следующие неравенства и системы линейных неравенств (1—14):

Задание 1.

Ответ:

Задание 2.

Ответ:

Задание 3.

Ответ:

Задание 4.

Ответ:

Задание 5.

(х + 2)² + 8х²< (Зх -1)² - 12

Ответ:

Задание 6.

Ответ:

Задание 7.

Ответ:

Задание 8.

Ответ:

(2; 10]

Задание 9.

Ответ:

При

при

Задание 10.

Решение. Переписав систему в виде

заключаем, что она имеет решение только при выполнении неравенства

откуда а > 1.

Ответ:

при

при

Задание 11.

Ответ:

Задание 12.

|5 - 2х| > 3

Ответ:

Задание 13.

|2х - 3| < х

Указание:

Здесь х > 0.

Ответ:

(1; 3)

Задание 14.

|х - 1| > х + 2

Решение:

Если

то неравенство, очевидно, выполнено. Если же х > -2, то х -1> х + 2 или х - 1 < -(х + 2), откуда следует,
что

объединяя найденные решения, получаем ответ.

Ответ:

Задание 15.

Найдите все значения а, для каждого из которых числа л: и у, удовлетворяющие системе уравнений

удовлетворяют также неравенству х > у + 5а.

Ответ:

• Квадратичным неравенством называется неравенство вида

где коэффициент

Решения всех этих неравенств получаем из следующей таблицы графиков квадратного трехчлена у = ах² + bх + с.

Напомним, что здесь D = b² - 4ас — дискриминант квадратного трехчлена у = ах² + bх + с. В случае, когда D > 0, корни х₁ и х₂ квадратного трехчлена вычисляются по формулам

Решите следующие квадратичные неравенства и системы квадратичных неравенств (16—25):

Задание 16.

Ответ:

Задание 17.

4 + Зх - х² > 0

Ответ:

(-1; 4)

Задание 18.

Ответ:

Задание 19.

(6х - 5)(х + 1) > (х + 2)(х + 3)

Ответ:

Задание 20.

Ответ:

Задание 21.

Ответ:

Задание 22.

Ответ:

Задание 23.

Ответ:

Задание 24.

Зх⁴ + 7х² - 10 < 0

Решение:

Выполнив замену х² = t, имеем 3t² + 7t - 10 < 0, откуда

Решив систему неравенств

получаем

Ответ:

( -1; 1)

Задание 25.

2х⁴ - Зх² + 1 > 0

Ответ:

 

• Умение решать линейные и квадратичные неравенства является основой для решения общих рациональных неравенств методом интервалов, который состоит в следующем. Для решения неравенства

где Р(х) и Q(x) — многочлены, нанесем на числовую ось корни числителя и знаменателя дроби. В промежутках между этими точками дробь сохраняет знак. Выбирая нужные промежутки, получаем решение неравенства.

Методом интервалов решите следующие неравенства (26—36):

Задание 26.

Ответ:

Задание 27.

Ответ:

Задание 28.

Ответ:

Задание 29.

Ответ:

Задание 30.

Указание:

Квадратный трехчлен х² + 2х + + 4 > 0 при всех х.

Ответ:

Задание 31.

Ответ:

Задание 32.

Ответ:

Задание 33.

Ответ:

Задание 34.

Решение:

Раскладывая числитель и знаменатель дроби на множители, приходим к неравенству

Квадратный трехчлен х² + 2х + 4 > 0 при всех х. Таким образом, получаем расстановку знаков, изображенную на рис.

Точки х = +2 в ответ не входят, так как это корни знаменателя дроби.

Ответ:

Задание 35.

Указание:

Воспользуйтесь тем, что х³ - 2х² - 5х + 6 = (х + 2)(х - 1)(х - 3).

Ответ:

Задание 36.

Ответ:

Решите следующие неравенства (37—50):

Задание 37.

Ответ:

Задание 38.

Ответ:

Задание 39.

Решение:

Выполним следующие преобразования:

Ответ:

Задание 40.

Ответ:

Задание 41.

Ответ:

Задание 42.

Ответ:

Задание 43.

Ответ:

Задание 44.

Решение:

Переписав неравенство в виде

и приведя дроби к общему знаменателю, получаем неравенство

Его решение приведено на рис.

Ответ:

Задание 45.

Ответ:

Задание 46.

Решение:

Так как х³ + 1 = (х + 1)(х² - х + 1), то, записав неравенство в виде

и приведя дроби к общему знаменателю, получаем неравенство

Множитель х² - х + 1 > 0 при всех

Отсюда

Ответ:

Задание 47.

Ответ:

Задание 48.

Решение:

Имеем

С помощью рис.

записываем ответ.

Ответ:

Задание 49.

Ответ:

Задание 50.

Решение:

Выполним следующие преобразования:

Далее, вынося х за скобки и приводя дроби к общему знаменателю, приходим к неравенству

откуда с помощью рис.

получаем ответ:

Ответ:

 

Решите неравенства, которые сводятся к более простым квадратичным или рациональным неравенствам подходящей заменой переменной (51—58):

Задание 51.

Указание:

Выполните замену, полагая х² + х + 1 = t.

Ответ:

(-2; 1)

Задание 52.

Решение:

Пусть х² + 2х + 2 = t; тогда получим неравенство

Так как t = x² + 2x + 2>0 при всех х, то неравенство равносильно следующему:

6(t + 1) - 6t < t(t + 1); t² + t - 6 > 0, откуда t < -3 или t > 2.

Первое из неравенств не имеет решении, а второе приводит к неравенству х² + 2х > 0, откуда

Ответ:

Задание 53.

x⁸ - 6х⁷ + 9х⁶ - х² + 6х - 9 > 0

Указание:

х⁸ - 6х⁷ + 9х⁶ - х² + 6x - 9 = (х⁶ - 1)(х² -6х + 9) = (х- 3)²(х - 1)(х + 1)(х⁴ + х² + 1).

Ответ:

Задание 54.

Указание:

х⁴ + 4х³ + 4х² - 9 = (х² + 2х)² - 9.

Ответ:

Задание 55.

Указание:

Положите

Ответ:

Задание 56.

Решение:

Отметим, что х = 0 является решением данного неравенства. Если же

то перепишем его в виде

т. е.

Теперь решаем неравенства:

Решения первого неравенства:

второго:

а третьего:

Объединяя решения неравенств и добавляя точку х = 0, получаем, что

Ответ:

Задание 57.

Зх³ - 14х² + 20х > 8

Указание:

Зх³ - 14х² - 20х - 8 = (3х - 2)(х - 2)².

Ответ:

Задание 58.

Решение:

Имеем

Следовательно,

Ответ:

х € (0; 1] U [2; 3]

Решите следующие неравенства, содержащие знак модуля величины (59—76).

Задание 59.

х² - 5|х| + 6 > 0

Ответ:

Задание 60.

Решение:

Раскладывая квадратный трехчлен на множители, получаем

откуда

Ответ:

Задание 61.

|х - 1 + |х + 1| < 4

Решение:

Рассмотрим следующие случаи:

1)

2)

3)

Объединяя найденные решения, получаем решение неравенства.

Ответ:

х € (-2; 2)

Задание 62.

|1 + 2х| -|х + 2| < 2

Ответ:

Задание 63.

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности следующих неравенств:

Решение первого из них -

а второго

Объединяя эти решения, получаем решение исходного неравенства.

Ответ:

Задание 64.

Указание:

Неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

Задание 65.

Ответ:

Задание 66.

Ответ:

Задание 67.

Решение:

Это неравенство имеет вид

что возможно только в том случае, если

(получается равенство). Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему.

т. е.

откуда

Ответ:

Задание 68.

||х² + 5х| - 6| > |х² + 5х| - 6

Ответ:

Указание:

Данное неравенство равносильно неравенству |х² + 5х| - 6 < 0.

Задание 69.

||х - 1| > |х|

Ответ:

Задание 70.

|2 - |х|| < 2|х|

Ответ:

Задание 71.

Решение:

Рассмотрим следующие случаи:

1)

2)

3)

Объединяем найденные решения и получаем решение исходного неравенства.

Ответ:

Задание 72.

Ответ:

Задание 73.

||х² - 3х + 2| - 1 > х - 2

Ответ:

Задание 74.

|х² -2х - 3| + 2|х- 2| < 5

Ответ:

Задание 75.

|12x² + 33x + 32| < |4x² + 35x + 38|

Ответ:

Задание 76.

Ответ:

Установите, при каких а следующие неравенства выполняются для всех

(77—81):

Задание 77.

x² -2(а -1)x + а + 5 > 0

Указание:

Поскольку коэффициент при х² положителен, нужное значение а определяется условием D < 0.

Ответ:

(-1; 4)

Задание 78.

(а² - 1I)x² + 2(а - 1)x + 2 > 0

Ответ:

Задание 79.

Решение:

Так как х - х² - 1 < 0 для всех х, то исходное неравенство можно умножить на (х - х² - 1), при этом знак неравенства изменится на противоположный:

Последнее неравенство выполняется для всех х, если

Ответ:

[-1; 7]

Задание 80.

Ответ:

(-2; 4)

Задание 81.

Ответ:

(-1; 5)

Задание 82.

Найдите все а, при которых неравенство ах² - 4х + За + 1 > 0 выполнено для всех х > 0.

Решение:

Положим f(x) = ах² - 4х + За + 1. Данное выражение положительно при всех х > 0 в двух случаях

Последнее неравенство второй системы означает, что абсцисса вершины параболы отрицательна. Так как в этой системе первое и четвертое неравенства несовместны, то искомые значения а удовлетворяют первой системе:

 

Ответ:

Задание 83.

Найдите все а, при которых неравенство х² + ах + а² + 6а < 0 выполнено для всех х € (1; 2).

Указание:

Для нахождения требуемых значений а достаточно решить систему

 

Ответ:

Задание 84.

При каких т все решения неравенства (m - 1)х² + (m² - 2m + 2)х +m - 1 > 0 положительны и меньше 2?

Решение:

Найдем корни уравнения

(m - 1)х² + (m² - 2m + 2)х + m - 1 = 0.

Имеем

Нужные значения m удовлетворяют системе

 

Ответ:

Задание 85.

Найдите все а, при которых неравенство

выполнено для всех x € [1; 2].

Решение:

На плоскости хОа изобразим множество пар (х; у), для которых выполняется требуемое неравенство

Искомые значения а₀ характеризуются тем, что отрезок прямой а = а₀ при

полностью лежит в заштрихованной области. Это достигается при

Ответ:

Задание 86.

Найдите все а, при которых неравенство

выполнено для всех х € (-1; 1).

Решение:

Данное неравенство должно, в частности, выполняться при х = 0. В этом случае оно имеет вид

откуда

Кроме того, для

выражение х + 6 > 0.

Таким образом, при указанных ограничениях исходное неравенство имеет вид

Абсцисса вершины параболы у = х² - ах + а² - 6а равна

т.к.

и неравенство выполняется при всех х € (-1; 1), если оно выполняется при х = 1, т. е.

Учитывая условие ограничения

получим ответ.

Ответ:

Задание 87.

При каких а неравенство х² + |х + а| < 2 имеет хотя бы одно положительное решение?

Решение:

На плоскости хОа изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству х² + |х + а| < 2.

При

неравенство имеет вид а < 2 - х - х²; при х + а < 0 — вид а >х²- х - 2.В заштрихованной области точки с положительной абсциссой существуют при

Ответ:

Задание 88.

При каких а неравенство х²< 4 - |х - а| имеет хотя бы одно отрицательное решение?

Ответ:

Задание 89.

При каких а имеет единственное решение система неравенств:

Решение а).

На плоскости хОа изобразим параболы а = -х² - 2х и

Точки, координаты которых удовлетворяют данной системе, лежат ниже параболы а = -х² - 2х и выше параболы

Эти параболы пересекаются в точках О(0; 0) и

Заметим, что точка А расположена левее вершины первой параболы В(-1; 1). Горизонтальная прямая пересекает заштрихованную область по единственной точке, если она проходит через точки О и В, т. е. при а = 0 и а = 1.

Ответ:

{0; 1}. б) {0; -1}

Задание 90.

Найдите все а, при которых существует хотя бы одно общее решение неравенств:

Ответ:

Задание 91.

Найдите все а, при которых любое число х € R является решением хотя бы одного из неравенств:

Ответ:

Задание 92.

Найдите все а, при которых любое решение неравенства

является также решением неравенства х² + 2х - 1 + а² > 0.

Ответ:

Решите следующие неравенства и системы неравенств (93—104):

Задание 93.

Решение:

Умножив левую и правую части неравенства на 6 и приведя подобные члены, получаем х (а² - 9) < а + 3. Рассмотрим следующие случаи:

1) при а < -3 выражение (а² - 9) > 0, поэтому

2) при а = -3 получаем неравенство х • 0 < 0, которое не имеет решений;

3) при -3 < а < 3 выражение (а² - 9) < 0 , поэтому

4) при о = 3 получаем неравенство х • 0 < 6, которое выполняется при всех х;

5) при а > 3 имеем (а² - 9) > 0 и, значит,

Ответ:

при

при

при

при

Задание 94.

х² - ах + а - 1 < 0

Решение:

Запишем неравенство в виде (х — (а — 1))(х - 1) < О и изобразим точки, координаты которых удовлетворяют ему по плоскости хОа.

При фиксированном а₀ решения — это абсциссы точек прямой а = а₀, попавшие в заштрихованную область.

Ответ:

при

при а = 2 => 0; при

Задание 95.

ах² - (а + 4)х + 4 > 0

Указание:

Ответ:

при

при

при

при

Задание 96.

Ответ:

При

при

Задание 97.

Решение:

Приведем неравенство к виду

и заштрихуем на плоскости хОа множество точек, координаты которых ему удовлетворяют.

Ответ:

при

при

при

Задание 98.

Решение:

На плоскости Оха изобразим множество точек, удовлетворяющих неравенствам: ах > -2, ах < х + 3

Для нахождения ординаты точки А приравняем правые части уравнений

и

Получаем

Ответ:

при

при

при

при

Задание 99.

Ответ:

При

при

при

при

Задание 100.

Ответ:

При

при

при

при

при

при

Задание 101.

|х + За - 6| < |3х - 2 + 7а|

Решение:

Так как

то

На плоскости Оха отметим штриховкой множество точек, удовлетворяющих последнему неравенству.

 

Ответ:

при

при

Задание 102.

Решение:

На плоскости изобразим Оха множество точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Ответ:

npи

при

при

при

 

Задание 103.

Ответ:

При

при

при

при

Задание 104.

||х - 2| > 2а|x|

Решение:

Здесь требуется найти те значения переменной х, при которых график функции у = ||х| - 2| лежит выше графика у = 2а\х\. Первый график не зависит от параметра, а второй меняется при изменении а.

Рассмотрим различные случаи:

1) а < 0 (рис. а). Условию удовлетворяют все

2) а = 0 (рис. б). Условию задачи удовлетворяют

3)

(рис. в).

Найдем координаты точек пересечения графиков:

Условию удовлетворяют

4)

(рис. г).

Условию удовлетворяют

Ответ:

при

при

при

при

Задание 105.

При каких а фигура, задаваемая неравенствами

имеет наибольшую площадь? Найдите эту площадь.

Решение:

На плоскости хОу изобразим множество точек, удовлетворяющих данной системе неравенств.

В первом случае соответствующие области не имеют общих точек, а во втором общие точки лежат внутри заштрихованного квадрата. Второй случай имеет место, если

Диагональ заштрихованного квадрата равна 6а - 2а², т. е. его площадь

Наибольшее значение функции S(a) на [0; 3] достигается при

так как при

— наибольшее. Теперь находим

Ответ:

Задание 106.

При каких а фигура, задаваемая неравенствами

имеет наименьшую площадь? Найдите эту площадь.

Ответ:

Задание 107.

Из города А в город В, находящийся в 240 км от А, со скоростью 40 км/ч выходит автобус. Одновременно с ним из Б в A с постоянной скоростью v (км/ч) выезжает автомобиль. Через полчаса после встречи автомобиль, не доезжая до города А, поворачивает обратно и с прежней скоростью движется по направлению к В. Найдите все те значения и, при которых автомобиль приходит в В раньше, чем автобус.

Решение:

Время, которое автомобиль и автобус затратили до их встречи, составляет

Автобус доезжает до В за 6 ч, а автомобиль находился в пути

Получаем

Известно, что через полчаса после встречи автомобиль еще не доехал до А. Расстояние, которое автобус проехал до встречи, равно

Это расстояние больше, чем

откуда

Ответ:

(56; 120)

Задание 108.

От пристани А к пристани В, находящейся от А на расстоянии 12 км, вниз по течению отходит моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 6 км/ч. Одновременно с ней из Б в А выходит катер, скорость которого в стоячей воде равна 10 км/ч. После встречи они разворачиваются и возвращаются на свои пристани. Определите все значения v, при которых моторная лодка приходит в А не раньше, чем через 1 ч после возвращения катера в Б, если v — скорость течения.

Ответ:

(2; 6)

Задание 109.

Некоторое предприятие приносит убытки, составляющие 31 тыс. р. в год. Для превращения его в рентабельное было предложено увеличить ассортимент продукции. Подсчеты показали, что дополнительные доходы, приходящиеся на каждый новый вид продукции, составят 25 тыс. р. в год, а дополнительные расходы окажутся равными 5 тыс. р. в год при освоении одного нового вида, но освоение каждого последующего потребует на 10 тыс. р. в год больше расходов, чем освоение предыдущего. Можно ли указанным способом сделать предприятие рентабельным?

Ответ:

Нет