ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЛОВ.

 

Задачи различных областей человеческой деятельности зачастую сводятся к решению определенного интеграла, где f(x) - функция, непрерывная на отрезке [a; b], по формуле Ньютона-Лейбница. Если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления данного интеграла применяют приближенные формулы, т.е. используют метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла необходима помнить следующее: если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то результат вычисления будет численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b. Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции.

Покажем на примере: разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Точки деления будут: x 0 =a; x 1 =a+h; x 2 =a+2*h, ... , x n-1 =a+(n-1)*h; x n =b. Числа y 0 , y 1 , y 2 , ... , y n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x 0 , x 1 , x 2 , ... , x n .Построить прямоугольники можно воспользовавшись несколькими методами:

  • Левые прямоугольники (построение слева на право)
  • Правые прямоугольники (построение справа на лево)
  • Средние прямоугольники (построение посредине)
  • Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяют площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников.

    Сделаем вывод: вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников, где h=(b-a)/n –ширина прямоугольников.

    Формула средних прямоугольников: S средих = (S правых + S левых ) /2

    МЕТОД ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ.

    Создадим программу решения интегралов методом левых прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующее…

    Program levii;{Метод левых прямоугольников}
    uses crt;
    var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;
    function f(x:real):real;
    begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
    begin
    clrscr;
    write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
    write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
    write('Введите количество отрезков '); readln(n);
    h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;
    for i:=0 to n-1 do
    begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;
    writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;
    end.

    a=1 b=2 n=10 S= 18,077

    a=1 b=2 n=20 S= 18, 208

    a=1 b=2 n=100 S= 18, 270

     

    МЕТОД СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

    Создадим программу решения интегралов методом средних прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующее…

    Program srednii; {Метод средних прямоугольников}
    uses crt;
    var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb : real;
    function f(x : real):real;
    begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
    begin
    clrscr;
    write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
    write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
    write('Введите количество отрезков '); readln(n);
    dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2;
    for i:=0 to n-1 do
    begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x)*dx; end;
    write('Интеграл равен ',s:15:10); readln;
    end.

    a=1 b=2 n=10 S=18,07667

    a=1 b=2 n=20 S=18,368

    a=1 b=2 n=100 S= 18,156

    ВЫВОДЫ

     

    Из рассмотренных выше примеров легко заметить, что при вычислении определенных интегралов методами прямоугольников мы не можем достигнуть точного значения, т.е. чем больше значение n, тем точнее значение интеграла.