Прямая, окружность,
парабола и гипербола.
Некоторые приемы построения графиков функций
• Уравнение вида
ах + bх + с = 0
называется общим уравнением прямой. Мы уже знаем, что каждая прямая записывается таким уравнением и, обратно, каждое такое уравнение определяет прямую. Если уравнение прямой записано в виде у = kx + b, то число k называется ее угловым коэффициентом. При этом
т.е. совпадает с тангенсом угла наклона прямой L к оси Ох
Признаком параллельности двух прямых L и L1 является равенство их угловых коэффициентов: k = k1.
Признаком перпендикулярности прямых L и L2 является соотношение kk2 = -1.
Наконец, уравнение
y - y0 = k(x
- x0)
'
является уравнением прямой, проходящей через точку А(х0; у0)
и имеющей угловой коэффициент k, а уравнание
— уравнением прямой, проходящей через две данные точки А(х0; у0) и В(х1; y1).
Задание 1.
Определите точки пересечения прямой 2х - Зу -- 6 = 0 с координатными осями и постройте эту прямую.
Ответ:
А(3; 0), В(0; -2)
Задание 2.
Запишите уравнение прямой, проходящей через данную точку А(х0; у0) и образующей с осью Ох угол
если:
а)
б)
в)
Ответ:
а)
у = х - 1;
б)
у = 3 - х;
в)
Задание 3.
Запишите уравнение прямой, параллельной прямой у = 2х + 3 и проходящей через точку А(-3; 2).
Ответ:
у = 2х + 8
Задание 4.
Запишите уравнение прямой, перпендикуляр,ной прямой у = -5х + 3 и проходящей через точку А(5;4)
Ответ:
Задание 5.
Запишите уравнение сторон треугольника, если известны его вершины А(5; -4), В(-1; 3) и С(-3; -2).
Решение:
Используя общее уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, для прямой (АВ) имеем
т. е. 7х + 6у - 11 = 0.
Аналогично получаем: (АС) х - 4у + 11 = 0, (ВС) 5х - 2у + 11 = 0.
Задание 6.
Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М1(2, 1) перпендикулярно прямой, проходящей через точки М2(5; 3) и М3(3; -4).
• Пусть А(х0; у0), B(х1у1) — две данные точки; тогда точка С
лежит на прямой, проходящей через точки А и В, и делит отрезок АВ пополам. Используйте этот факт при решении задний 7, 8.
Решение:
Уравнение прямой (М2М3) имеет вид 7х - 2у - 29 = 0. Ее угловой коэффициент равен
Поэтому уравнения прямых, перпендикулярных данной прямой, имеют вид
Подставляя в это равенство координаты точки М1 (2; 1), находим
Отсюда следует нужное нам уравнение.
Ответ:
2х + 7у - 11=0
Задание 7.
Найдите координаты точки О, симметричной тс)чке Р(-5; 13) относительно прямой 2х - Зу - 3 = 0.
Решение:
Проведем через точку Р (-5; 13) прямую, перпендикулярную прямой 2х -Зу - 5 = 0. Ее уравнение есть Зх + 2у - 11 = 0.
Найдем координаты точки пересечения этих прямых, для чего решим систему уравнений
откуда х = 3, у = 1. Точка С(3; 1) является серединой отрезка PQ, где Р (-5;
13), a Q(x0; у0) — искомая точка. Поэтому
откуда Q(11l; -11).
Ответ:
Q (11;-11)
Задание 8.
Составьте уравнение прямой, параллельной прямым 2х + Зу -6 = 0 и 4х + 6у+ 17 = 0 и проходящей посередине между ними.
• Уравнение
(х - х0)2 + (у - у0)2 = R2
определяет окружность радиуса R с центром в точке С(х0; у0).
Решение:
Прямая 2х + Зу - 6 = 0 проходит через точку А(0; 2), а прямая 4х + 6у + 17 = 0 — через точку В
Следовательно, прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними, имеет уравнение 2х + Зу + 6 = 0 и проходит через точку C
где С — середина отрезка АВ. Отсюда находим
а тогда уравнение искомой прямой можно записать в виде:
8х + 12у + 5 = 0.
Заметим, что это уравнение есть полусумма уравнений 8х + 12у - 24 = 0 и 8х + 12у + 34 = 0, задающих известные нам прямые.
Ответ:
8х + 12у + 5 = 0
Задание 9.
Запишите уравнение окружности, если:
а) центр окружности совпадает с точкой С(2; -3), а ее радиус R = 7;
б) окружность проходит через точку А(2; 6), а ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);
в) точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров этой окружности.
Ответ:
а) (х - 2)2 + (у + З)2 = 49;
б) (х + 1)2 + (у - 2)2 = 25;
в) (х - 1)2 + (у - 4)2 = 8
Задание 10.
Запишите уравнение окружности, если ее центр совпадает с началом координат, а прямая Зх - 4у + 25 = 0 является касательной к этой окружности.
Решение:
Через начало координат О (0; 0), т. е. через центр окружности, проведем прямую, перпендикулярную прямой Зх - 4у + 25 = 0. Ее уравнение имеет вид 4х + Зу = 0. Найдем точку пересечения этих прямых, т. е. точку касания прямой Зх - 4у + 25 = 0 и искомой окружности. Решаем систему
откуда х = 3, у = -4. Таким образом, С(3; -4) — точка касания, а
— радиус искомой окружности.
Ответ:
х2 + у2
= 25
Задание 11.
Запишите уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 1) и Б(-1; 3), если ее центр лежит на прямой Зх - у -2 = 0.
Решение:
Центр искомой окружности О (х0; у0) - точка пересечения прямой Зх - у - 2 = 0 и прямой, проходящей через точку С(1;2) (середину отрезка АВ), перпендикулярно прямой (АВ)
Ее уравнение имеет вид у - 2х = 0 (см. решение задачи 6).
Тогда
откуда О (2; 4). Радиус искомой окружности равен длине отрезка ОВ, т. е.
Ответ:
(х - 2)2 + (у - 4)2 = 10
Задание 12.
Запишите уравнение прямой, проходящей через центры двух данных окружностей:
а) (х - З)2 + у2 = 9, (х + 2)2 + (у -1)2 = 1;
б) х2 + у2 - 4х + 6у = 0, х2 + у2 - 6х = 0.
Ответ:
а) х + 5у - 3 = 0;
б) 3х - у - 9 = 0
Задание 13.
Запишите уравнения касательных к окружности х2 + у2 + + 2х - 19 = 0, проведенных из точки А (1; 6).
Указание:
Запишите уравнения искомых прямых в виде у = а(х - 1) + 6, подставьте у = а(х — 1) + 6 в уравнение окружности и приравняйте нулю дискриминант полученного квадратного уравнения.
Ответ:
у + 2х - 8 = 0, х - 2у + 11 =0.
Задание 14.
Установите, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найдите координаты ее вершины А и координаты точек пересечения с осями координат:
а)
у = 4х2 - 8х + 7;
б)
в)
у = -х2 + 2х + 3.
Ответ:
а) А(1; 3); с осью Ох не пересекается; С (0; 7);
б) А(-2; -3);
в) А(1; 4); В1(-1; 0); В1(3; 0); С(0; 3).
Задание 15.
Найдите квадратный трехчлен, наибольшее значение которого, равное 3, достигается при х = 2, если известно, что его график проходит через точку О(0; 0).
Решение:
Из условия следует, что квадратный трехчлен имеет вид у = а(х - 2)2 + 3, где а < 0. Подставляя в это равенство х = 0 и у = 0, получаем
Ответ:
Задание 16.
График квадратного трехчлена, свободный член которого равен 1, симметричен относительно прямой х + 2 = 0 и проходит через точку А(2; 7). Запишите этот квадратный трехчлен.
Ответ:
Задание 17.
Найдите квадратный трехчлен, график которого симметричен относительно прямой х = -1 и проходит через точки М1(-2; 2) и М2(2; 26).
Решение:
Из условия следует, что квадратный трехчлен имеет вид у = а(х + 1)2 + b. Подставляя в это равенство координаты точек М1(-2; 2) и М2(2; 26), получаем систему
откуда а = 3, b = -1. Итак, у= 3(х + 1)2 - 1 = Зх2 + 6х
+ 2.
Ответ:
у = = 3х2+ 6х + 2
Задание 18.
Найдите квадратный трехчлен, график которого симметричен относительно прямой х = 1 и проходит через точки M1(2; -1) и М2(-4; 47).
Ответ:
у = 2х2 - 4х - 1
Задание 19.
Парабола у = х2 - 4х + 2 пересекается с прямой у = х + 8 в точках А и В. Запишите уравнение параболы, проходящей через А, В и точку О(0; 0).
Решение:
Находим координаты точек А и В. Решаем уравнение
х2 - 4х + 2 = х + 8, т. е. х2 - 5х - 6 = 0 и получаем: А (-1; 7), В (6; 14).
Уравнение искомой параболы имеет вид у = ах2 + bх. Подставляя в это равенство координаты точек А и В, приходим к системе:
откуда
Ответ:
Задание 20.
График квадратного трехчлена, наименьшее значение которого, равное нулю, достигается при х - 1, проходит через точку А(-1; 4). Составьте уравнения касательных к этому графику, проходящих через начало координат.
Решение:
Из условия следует, что квадратный трехчлен имеет вид у = а(х - 1)2, где а > 0. Подставляя в это равенство координаты точки А (-1; 4), находим а = 1, откуда у = (х - 1)2 = х2 - 2х + 1. Уравнения всех прямых, проходящих через точку О (0; 0), имеют вид у = ах. Приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения х2 - 2х + 1 = = ах, т. е. х2 - (2 + а)х + 1 = 0, имеем D = (а + 2)2 - 4 = а2 + 4а = О, откуда a1= 0, а2 = -4. Таким образом, получаем искомые уравнения касательных: у = 0 и у = -4х.
Ответ:
у = 0, у = -4х
Задание 21.
Запишите уравнение параболы, проходящей через данные точки А, В и С, если:
а)А(0;-1),В(1; 1), С(-1; 2);
б)А(-1;0}, В(1;4), С(2; 3).
• Функция вида
где
a, b, d — действительные числа и
называется дробно-линейной функцией. Кривая, которая служит графиком этой функции, называется гиперболой. Ниже мы установим, что график дробно-линейной функции можно получить из графика простейшей дробно-линейной функции
(графика обратной пропорциональной
зависимости) с помощью параллельного переноса,
отражения и растяжения (сжатия) вдоль координатных осей. График функции
изображен на рис.
Отметим, что прямые у =0 и х=0 (координатные оси) являются асимптотами гиперболы
а точка О(0; 0) — ее центром симметрии.
Указание:
Запишите уравнение искомой параболы в виде у = ах2 + bх + с и подставьте в это равенство координаты данных в условии точек.
Ответ:
а) у = 2х2- х - 1;
б) у = -х2 + 2х + 3
Постройте графики следующих функций и уравнений. Штриховкой укажите области, координаты точек которых удовлетворяют указанным неравенствам (22—26):
Задание 22.
Ответ:
Задание 23.
Почему в заданиях 22 и 23 получаются различные заштрихованные области?
Ответ:
Задание 24.
Ответ:
Задание 25.
Ответ:
Задание 26.
(эта кривая также является гиперболой).
Ответ:
Задание 27.
Составьте уравнения касательных к гиперболе
параллельных прямой у = -4х + 1.
Напомним некоторые приемы, которые часто используются при построении графиков
функций. При этом предполагается, что график функции у = f(x) (или уравнения
f(x, у) = 0) известен.
• Сдвиги (параллельные переносы) вдоль координатных осей.
Пусть построен график функции у = f(x). Тогда:
1) график функции у = f(x
+ а) получается из графика функции у - f(x) переносом вдоль оси Ох на а единиц
влево, если а > 0, или на |а| = -а единиц вправо, если а < 0;
2) график функции у = f(x) + b получается из графика функции у = f(x) переносом на b единиц вверх, если b > О, или на |b| = -b единиц вниз, если b < 0;
3) график уравнения f(x -а, у) = О получается из графика уравнения f(x, у) = О переносом на |а| вправо, если а > 0, и влево, если а < 0. Аналогичное правило справедливо и для аргумента у, т. е. график f(x, у - b) = О получается из графика f(x, у) = 0 переносом на |b| единиц вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0.
Решение:
Уравнение касательной должно иметь вид у = -4х+ b.
Приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения
т. е. 4х2 - bх + 1 = 0, имеем D = b2 - 16 = 0, т.е. b1
= -4; b2 = 4. Итак, получаем искомые уравнения касательных: у = -4х
- 4 и у = -4х + 4.
Ответ:
у = -4х - 4; у = -4x + 4
Постройте графики следующих функций и уравнений (28—34):
Задание 28.
у = х2; у = (х - 2)2; у = (х -2)2 - 3
Ответ:
Задание 29.
х2 + у2 = 4; (х + 1)2 + у2 = 4; (х + 1)2 + (у - З)2 = 4
Ответ:
Задание 30..
Ответ:
Задание 31.
Ответ:
Задание 32.
х2 - 6х + у2 + 2у - 6 = 0
Ответ:
Задание 33.
(jc - 1)(у + 2) = 2х - 3
Указание:
Преобразуйте уравнение к виду
Ответ:
Задание 34.
ху + Зу - 2х = 7
Указание:
Преобразуйте уравнение к виду
Ответ:
Задание 35.
Даны окружности:
а) (х - 1)2 + (у + 1)2 = 4;
б) х2 - 4х + у2 + 6у = 0
Запишите уравнение образа каждой из них при параллельном переносе, если ее центр смещается в точку С(-1; 2).
Решение б):
Запишем уравнение данной окружности в виде (х - 2)2 + (у + З)2 = 13. При параллельном переносе радиус окружности не меняется. Уравнение окружности радиуса
с центром в точке С(-1;2) имеет вид (х + 1)2 + (у - 2)2 = 13.
Ответ:
а) (х + 1)2 + (у - 2)2 = 4
б) (х + 1)2 +
(у - 2)2 = 13
Задание 36.
Запишите уравнение образа параболы у = х2 + + 2х + 2 при параллельном переносе, если ее вершина смещается в точку A(x0; у0), где
а) А(0; 0);
б) А(-3; 4);
в)А(-1; 1).
Решение б).
Парабола у = х2 + 2х + 2 = (х + 1)2 + 1 получается из параболы у = х2 переносом вершины в точку А (-1; 1). Если вершина этой параболы при параллельном переносе сместится в точку А (-3; 4), то ее уравнение примет вид у = (х + З)2 + 4.
а) у = х2
б) у = х2 + 6х + 13
в) у = х2 + 2х + 2
Ответ:
Задание 37.
Запишите уравнение образа гиперболы
при параллельном переносе, если ее центр симметрии смещается вточку А(-3; 1).
• Зеркальное отражение относительно координатных осей.
Пусть задан график функции у = f(x) (или уравнения f(x, у) = 0). Тогда:
1) графики функций у = f(x) и у = f(-x) (уравнений f(x, у) = 0 и f(-x, у) = 0) симметричны относительно оси Оу,
2) графики функций у = f(x) и у = -f(x) (уравнений f(x, у) = 0 и f(x; -у) = 0) симметричны относительно оси Ох.
Постройте графики следующих функций и уравнений (38—42).
Ответ:
Задание 38.
у = 2 + х; у = 2 - х; у = -(2 + х)
Ответ:
Задание 39.
у = х2 + 2х; у = х2 - 2х; у = -(х2 + 2х)
Ответ:
Задание 40.
Ответ:
Задание 41.
Ответ:
Задание 42.
(х - I)2 + у2=1;(х + 1)2 + у2=1
• Растяжение (сжатие) графика вдоль координатных осей.
Пусть задан график функции у = f(x) и число k > 0. Тогда:
1) график функции у = f(kx) получается из графика функции у = f(x) сжатием вдоль оси Ох в k раз, если
(при k < 1 получает растяжение в 1/k раз);
2) график функции у = kf(x) получается из графика функции у = f(x) растяжением вдоль оси Оу в k раз, если
(при k < 1 получаем сжатие в 1/k раз).
Отметим также, что графики уравнений f(kx, у) = 0, f(x, ky) = 0 получаются из графика уравнения f(x, у) = 0 сжатием вдоль соответствующей координатной оси в k раз, если k > 1 (при k < 1 получаем растяжение в 1/k раз).
Постройте графики следующих функций и уравнений (43—50). Отметьте штриховкой области, координаты точек которых удовлетворяют указанным неравенствам.
Ответ:
Задание 43.
у = х2; у = (2х)2; 2у = х2
Ответ:
Задание 44.
Ответ:
Задание 45.
(кривая, которая получается при сжатии окружности вдоль координатных осей, называется эллипсом).
Ответ:
Задание 46.
Ответ:
Задание 47.
Ответ:
Задание 48.
Ответ:
Задание 49.
Ответ:
Задание 50.
• При построении эскизов графиков элементарных функций часто используются и такие приемы, как сложение (вычитание) и деление (умножение) графиков.
Постройте графики следующих функций (51—57):
Ответ:
Задание 51.
Ответ:
Задание 52.
Ответ:
Задание 53.
Ответ:
Задание 54.
Ответ:
Задание 55.
Ответ:
Задание 56.
Указание:
Ответ:
Задание 57.
Указание:
Ответ:
Используя различные приемы, постройте графики следующих функций и уравнений (58—71):
Задание 58.
у = 2(х- 1)2 + 3
Ответ:
Задание 59.
у = 4х - х2 - 6
Указание:
у = -(х - 2)2 - 2
Ответ:
Задание 60.
Указание:
Ответ:
Задание 61.
Ответ:
Задание 62.
Ответ:
Задание 63.
Ответ:
Задание 64.
Указание:
Ответ:
Задание 65.
Указание:
Ответ:
Задание 66.
3(х - 1)2 - 4(у + 1)2 = 0
Указание:
Постройте две пересекающиеся прямые Зх2 = 4у2, затем выполните параллельный перенос, при котором точка их пересечения сместится в точку А(1; -1).
Ответ:
Задание 67.
2х2 - у2 + 8х + 2у + 7 = 0
Указание:
Ответ:
Задание 68.
(х + 2)2 + 4(у - З)2 = 16
Ответ:
Задание 69.
Зх2 + 2у2 - 12х + 4у + 2= 0
Указание:
Ответ:
Задание 70.
х2 - ху + 1 = 0
Указание:
Ответ:
Задание 71.
ху + х - 2у - 4 = 0
Указание:
Ответ:
Найдите число различных решений уравнений в зависимости от а (72—80):
Задание 72.
Ответ:
При
два решения.
Задание 73.
Ответ:
При
два решения, при
одно решение; при
нет решений.
Задание 74.
Решение:
Положим х2 = t. Тогда
Построим при t > 0 график функции
Так как
при t > 0, причем наименьшее
значение у = 2 достигается при t = 1, то получаем: при
а < 2 => уравнение
не имеет положительных решений, при а = 2 => одно решение; а > 2 => два решения. Теперь находим число решений исходного уравнения.
Ответ:
при
нет решений, при а = 2 => два решения; при
четыре решения.
Задание 75.
Решение:
Построим график функции
Так как
то х = -1 - точки минимума функции у(х) и у(-1) = 3
Поэтому получаем следующий ответ.
Ответ:
при
одно решение; при а = 3 => два решения; при
три решения.
Задание 76.
х3 + 2 = ах
Указание:
Запишите уравнение в виде
Далее см. решение задачи 75.
Ответ:
При
одно решение; при а = 3 => два решения; при
три решения.
Задание 77.
х3 - ах2 + 1 = 0
Указание:
Запишите уравнение в виде
Ответ:
при
одно решение; при
два решения; при
три решения.
Задание 78.
Решение:
Имеем
Запишем уравнение в виде
График этой функции — гипербола, принимающая все значения, кроме у = 3, по одному разу. Поскольку
нужно также исключить значение
Ответ:
при
одно решение; при
нет решений.
Задание 79.
Решение:
Запишем уравнение в виде
положим
Заметим, что
Сначала найдем число решений уравнения
не меньших
Построим график функции
при
Отметим, что
а наименьшее значение y(t) равно 2. Поэтому уравнение
при
не имеет решении, при
и
— имеет одно решение, а при
— два решения, удовлетворяющих условию
Отдельно рассмотрим случай
Уравнение
т. е.
имеет одно решение (мы находим число различных решений). При всех остальных
уравнение х2 + х + 1 = 3t будет иметь два различных решения. Теперь легко записываем ответ.
Ответ:
при
нет решений; при
два решения; при
четыре решения; при
три решения.
Задание 80.
(х2 + 1)(х2 + 2ах + а2 + 1) = 2х
Указание:
Запищите уравнение в виде
и постройте графики функций
Ответ:
При
одно решение х = 1, при
других а решений нет.
Решите системы неравенств и уравнений (81—87):
Задание 81.
Ответ:
При
при
при
при
Задание 82.
Решение:
На координатной плоскости (х, а) штриховкой отметим точки, координаты которых удовлетворяют нашей системе неравенств
Ответ:
при
при
при
при
Задание 83.
Ответ:
При
при
при
Задание 84.
Решение:
Перепишем неравенства в виде
и штриховкой на координатной плоскости (х; а) отметим точки, координаты которых удовлетворяют этой системе неравенств
Записываем решение данной системы.
Ответ:
при
при
при
при
Задание 85.
Указание:
Постройте графики
и (х + 1)2 + (у + 1)2=1
Ответ:
{(-1; -2)}
Задание 86.
Указание:
Постройте графики функций
и у = 2х2 - 4х + 3
Ответ:
86. {(1; 1)}.
Задание 87.
Решение:
Запишем второе уравнение в виде
Это окружность радиуса
с центром (а; -а), лежащим на прямой у = -х
Пересечение с гиперболой
возможно только в том случае, если а = 0. При а = 0 получаем решения х1 = 1, у1 = 1 и х2 = -1, у2 = -1.
Ответ:
при
при других а решений нет.
Задание 88.
Прямая проходит через точку А(2; 1) и пересекает параболу у = х2 - 4х в точках, сумма квадратов абсцисс которых наименьшая. Запишите уравнение этой прямой.
Решение:
Запишем уравнение прямой в виде у = а(х - 2) + 1. Тогда точки пересечения этой прямой и параболы у = х2 - 4х
имеют абсциссы x1и х2, являющиеся корнями квадратного уравнения
а(х - 2) + 1 = х2 - 4х, т. е. х2 - (а + 4)х + 2а - 1 = 0. Так как
х12 + х22 = (x1 + х2)2 - 2х1х2 = (а + 4)2 - 2х1х2 = (а + 4)2 - 2(2а - 1) = а2 + 4а + 18 = (а + 2)2 + 14, то наименьшее значение сумма квадратов абсцисс принимает при а = -2.
Ответ:
у = -2х + 5
Задание 89.
Прямая проходит через точку А(1; 5) и пересекает параболу у = х2 + х+1 в точках, сумма ординат которых наименьшая. Запишите уравнение этой прямой.
Решение:
Запишем уравнение прямой в виде у = а(х - 1) + 5. Тогда точки В и С пересечения этой прямой с параболой у = х2 + х + 1
имеют абсциссы x1 и х2, являющиеся корнями квадратного уравнения
а(х - 1) + 5 = х2
+ х + 1, т. е. х2 - (а - 1)х + а - 4 = 0.
Заметим,
а сумма ординат точек пересечения равна
Следовательно, сумма ординат наименьшая при
Искомое уравнение имеет вид
Ответ:
Задание 90.
Прямая проходит через точку Б(1; -3) и пересекает параболу у - 2х - х2 в точках, сумма ординат которых наибольшая. Запишите уравнение этой прямой.
Ответ:
-3
Задание 91.
Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки А(3; -1) на прямую, пересекающую линию
и проходящую через точки этой линии с ординатами у = 1 и
Решение:
Находим точки В и С пересечения прямой с кривой
Имеем
откуда х= 1, т.е. В (1; 1);
откуда х = 0, т. е.
Записываем уравнение прямой, проходящей через точки В и С:
т. е. х - Зу + 2 = 0. Уравнение перпендикуляра к этой прямой, проходящего через точку А (3; -1), имеет вид у = -Зх + 8. Теперь найдем координаты точки пересечения этих прямых, для чего решим систему уравнении:
откуда
Вычисляем расстояние между точками А(3;-1) и D
Имеем
Ответ:
Задание 92.
Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки А(5; 0) на касательную к параболе у = х2 + 3, проведенную из точки В(0; 1).
Ответ:
Задание 93.
На оси ординат найдите точку, через которую проходят две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции
у = х2 - 2х + 3.
Решение:
Уравнение касательной имеет вид у = ах + b
Приравнивая нулю дискриминант
квадратного уравнения
х2 - 2х + 3 = ах + b, т. е. х2 - (а + 2)х + 3 - b = 0,
получим D = (а + 2)2 - 4(3 - b) = 0, т. е. а2 + 4а + 4b - 8 = 0.
Это уравнение должно иметь корни a1 и а2 такие, что а1а2 = -1 (а1 и а2 — угловые коэффициенты искомых касательных; записано условие перпендикулярности этих прямых).
Но а1а2= 4b - 8, т. е. 4b -8 = -1, откуда
Ответ:
Задание 94.
На прямой 2х - Зу = 6 найдите точку, через которую проходят две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции
Указание:
Запишите уравнения касательных в виде
Далее см. решение задачи 93.
Ответ:
Задание 95.
На координатной плоскости
даны точки А(1; 3) и В(5; 2). На прямой, проходящей через точки М(-3; 1) и
N (4; -6), найдите такую точку С, чтобы сумма длин отрезков АС и СВ была наименьшей.
Решение:
Точка С
— это точка пересечения прямых (MN) и (А'В), где А' — точка, симметричная A относительно прямой (MN) (см. задачу 7). Подумайте, почему это так? Теперь последовательно находим:
1) уравнение прямой (MN):
T. e. х + у + 2 = 0;
2) уравнение прямой (АА'):
у - х -2=0;
3) координаты точки К, т. е. точки пересечения прямых (MN) и (АА):
откуда К(-2; 0);
4) координаты точки А (х0, у0); имеем
откуда А'(-5; -3);
5) уравнение прямой (А'В):
т. е. 2у - х + 1 = 0;
6) координаты искомой точки С:
откуда х = -1, у = -1
Ответ:
С(-1; -1)
Задание 96.
Даны точка А(5; 7) и угол, уравнения сторон которого имеют вид у = 0 и у = х+5. Точки В и С лежат на разных сторонах угла. Найдите наименьшее значение периметра треугольника ABC.
Указание:
Наименьший периметр треугольника ABC равен длине отрезка PQ, где Р — точка, симметричная А относительно прямой у = 0, a Q — точка, симметричная А относительно прямой у = х + 5.
Ответ:
Задание 97.
Числа х, у и а удовлетворяют системе уравнений
При каком значении а произведение ху принимает наименьшее возможное значение?
Указание:
Сначала выясните, при каких а данная система имеет решение. Эти значения
Далее из системы выразите произведение ху через а и найдите минимум полученной функции на отрезке
Ответ
