Степень и логарифм числа. Показательная и логарифмическая функции.
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

• Напомним основные свойства степени. Если а и b — положительные, а

— любые действительные числа, то

1) а° = 1;

2)

3)

4)

5)

6)

Логарифмом положительного числа b по основанию а (а > 0; а # 1) называется показатель степени, вкоторую нужно возвести основание а, чтобы получить b.

Обозначение:

log_ab (Iog₁₀ b = lg b, log_eb = In b).

Определение логарифма записывается в виде равенства

a^log_ab = b

которое называется основным логарифмическим тождеством. Из этого тождества и свойств степени вытекают следующие свойства логарифмов:

1)
log^_a(b^₁b^₂) = log^_a b^₁ + log^_a b^₂

2)

3)

4)

Эти равенства справедливы для любых чисел b, b^₁, b^₂> 0; а, с > 0 и не равных единице, любого

Отдельно отметим, что

log^_a х² = 2log^_a| x|.

Наконец, из определения логарифма вытекает формула решения простейшего логарифмического уравнения:

Простейшее показательное уравнение решается, также исходя из определения логарифма и свойств степени, следующим образом:

а^x = b => х = log_^a b при b > 0 и а # 1,а >0.

Если же

то, очевидно,

Также отдельно в показательном уравнении следует рассматривать случай a = 1. Очевидно, что уравнение 1^x = b справедливо при всех х € R, если b = 1, а если b # 1, то

Более сложные уравнения сводятся к рассмотренным простейшим с помощью тождественных преобразований обеих частей уравнений.

Используя основные свойства степени и логарифма, решите показательные и логарифмические уравнения (1-40):

Задание 1.

Ответ:

-6

Задание 2.

Ответ:

3

Задание 3.

Ответ:

-4

Задание 4.

Ответ:

Задание 5.

Ответ:

Задание 6.

Решение:

Так как 16 = 2⁴, 0,5 = 2^-1 и 8 = 2³, то уравнение можно представить в виде

откуда следует уравнение

корнями которого и являются числа - 10 и 0.

Ответ:

{-10; 0}

Задание 7.

Ответ:

81

Задание 8.

Ответ:

{0; 25)

Задание 9.

Решение:

Так как

то из исходного уравнения получаем 1 + | х | = 2, или |х| = 1, откуда х = ± 1.

Ответ:

(-1; 1}

Задание 10.

Ответ:

Задание 11.

Ответ:

Задание 12.

2 ^{-|3x - 5|} = 4 • 8 ^{| x - 1|}

Ответ:

Задание 13.

3^х-1 = 18^2x • З^х+1 • 2^-2x

Решение:

Так как 18^2x = 34^4x • 2^2x, то из исходного уравнения получается уравнение 3^x-1 = 3^5x+1, откуда

Ответ:

Задание 14.

2^x • 3^x-1 = 6^x • 3^x+1

Ответ:

-2

Задание 15.

2^x • 5^x-1 = 0,2 • 10^2-x

Ответ:

1

Задание 16.

4^x • 5^x+1 = 100 • 20^1-x

Ответ:

1

Задание 17.

Ответ:

{-2,5; 3}

Задание 18.

Ответ:

4

Задание 19.

Ответ:

9

Задание 20.

Ответ:

Задание 21.

Ответ:

{-3; 1}

Задание 22.

2^x + 2^x-1 + 2^x-2 = 3^x - 3^x-1 + 3^x-2

Решение:

Уравнение легко преобразуется к виду

откуда

Ответ:

2

Задание 23.

Ответ:

1,5

Задание 24.

Ответ:

Задание 25.

Ответ:

3

Задание 26.

З^12x-1 - 96^6x-1 - 27^4x-1 + 81^3x-1 = 2192

Ответ:

0,25

Задание 27.

Iog₃ (2x - 1) = 3

Ответ:

14

Задание 28.

Ответ:

11

Задание 29.

Ответ:

{-1; 4}

Задание 30.

Решение:

Учитывая, что

получаем

или х² - bх + 4 = 0, откуда х = 1 и х = 4.

Ответ:

{1; 4}

Задание 31.

Ответ:

3

Задание 32.

Ответ:

3

Задание 33.

Iog₃ (1 + Iog₃(2^x -7)) = 1

Ответ:

4

Задание 34.

Ответ:

3

Задание 35.

Iog_2-x4 = 2

Решение:

Исходное уравнение преобразуется к виду (2 - х)² = 4, где 2 - x > 0 и 2 - x # 1. С учетом этих условий х = 0.

Ответ:

0

Задание 36.

log_x+1 (x² + 8x + 37) = 2

Решение:

Исходное уравнение преобразуется к виду (х + 1)² = х² + 8х + 37, решением этого уравнения является значение х = -6, но оно не удовлетворяет условию х + 1 > 0.

Ответ:

Задание 37.

log_x (2x² - 7x + 12) = 2

Ответ:

3; 4

Задание 38.

Ответ:

-1

Задание 39.

Iog₂ (2 • 4^x-2 - 1) = 2x - 4

Ответ:

2

Задание 40.

Iog₂ (9 - 2^x) = 100^lg(x-3)

Решение:

Так как 10^lg(x-3) = х - 3, где х - 3 > 0, то из исходного уравнения получаем уравнение 9 - 2^x = 2^x-3, откуда 2^x = 8 или х = 3, но это значение не удовлетворяет условию х — 3 > 0.

Ответ:

Используя метод разложения на множители, решите уравнения (41—45):

Задание 41.

x Iog₂ x² + 1 = 2х + Iog₂ x

Решение:

Исходное уравнение преобразуется к виду 2x(log₂ х - 1) - (Iog₂ х - 1) = 0, или (2х - 1)(log₂ х - 1) = 0, откуда х = 0,5 и х = 2.

Ответ:

{0,5; 2}

Задание 42.

Iog₂ x Iog₃ x = Iog₂ x² + Iog₃ x³ - 6

Ответ:

8; 9

Задание 43.

Iog₃ x Iog₄ x = Iog₃ x³ + Iog₄ x⁴ - 12

Ответ:

{64; 81}

Задание 44.

Ответ:

Задание 45.

Ответ:

 

Решите уравнения 46—51, предварительно приведя входящие в них логарифмы к одному основанию:

Задание 46.

Iog₁₆x + Iog₄ x + Iog₂ x = 7

Решение:

Переходя во всех логарифмах к основанию 2, получим уравнение

откуда х = 16.

Ответ:

16

Задание 47.

Ответ:

4

Задание 48.

Ответ:

Задание 49.

Iog₂ x + Iog₃ x = 1

Ответ:

Задание 50.

Ответ:

Задание 51.

Ответ:

Решите следующие уравнения (52—80) учитывая, что каждое выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным:

Задание 52.

Решение:

При выполнении условий

исходное уравнение переходит в уравнение

корнями которого являются числа

Первое из этих значений удовлетворяет приведенным выше неравенствам, а второе — нет.

Ответ:

Задание 53.

Ответ:

Задание 54.

Ответ:

Задание 55.

Ответ:

6

Задание 56.

Iog₂(3x + 5) = 3 - Iog₂(x + 1)

Ответ:

Задание 57.

Iog₄(x + 3) - Iog₄(x - 1) = 2 - Iog₄ 8

Ответ:

5

Задание 58.

Ответ:

-3

Задание 59.

Iog₉(x + 1) - log₉(1 - x) = log₉(2x + 3)

Ответ:

Задание 60.

Ответ:

15

Задание 61.

Ответ:

Задание 62.

2 log₃(x - 2) + Iog₃(x - 4)² = 0

Ответ:

Задание 63.

lg(3x - 4)² + lg(2x - 4)² = 2

Ответ:

Задание 64.

Ответ:

29

Задание 65.

Ответ:

13

Задание 66.

Решение:

При выполнении условий tg 2x > 0 и ctg х < 0 исходное уравнение преобразуется в уравнение

которое распадается на совокупность уравнений tg х = 0 и tg2 х = 3, откуда

Выше приведенные неравенства выполняются только при

где n € Z.

Ответ:

Задание 67.

Ответ:

Задание 68.

Ig sin x = Ig cos x + Ig 2

Ответ:

arctg 2 + 2 Пn; n € Z

Задание 69.

Iog₂ sin x + Iog₂ cos x + Iog₂ tg x = -1

Ответ:

Задание 70.

Ответ:

Задание 71.

Ответ:

Задание 72.

Iog₂(15 sin² x + 7sin x) = 1 + Iog₂(3 sin x+ 1)

Ответ:

Задание 73.

1 + Iog₃(5 cos² x - 3 cos x - 1) = Iog₃(1 - 2 cos x)

Ответ:

Задание 74.

Iog₂(4 cos x + 3) Iog₆(4 cos x + 3) = Iog₂(4 cos x + 3) + Iog₆(4 cos x + 3)

Решение:

Перейдем к логарифмам по основанию 2, воспользовавшись тождеством

С помощью подстановки Iog₂ (4 cos х + 3) = t исходное уравнение преобразуется в уравнение

которое распадается на совокупность уравнений t = 0 и t = 1 + Iog₂ 6, откуда 4 cos x + 3 = 1 и 4 cos x + 3 = 12.

Второе уравнение не имеет решений, а из первого находим

Ответ:

Задание 75.

Iog₃(6 sin x + 4) Iog₅(6 sin x + 4) = Iog₃(6 sin x + 4) + Iog₅(6 sin x + 4)

Ответ:

Задание 76.

Решение:

Преобразуя правую часть уравнения к виду

получим уравнение

при условии, что

Тригонометрическое уравнение преобразуется в уравнение

откуда

Наконец, учитывая, что х € (-2; 0) U (0; 2), получаем ответ.

Ответ:

Задание 77.

Ответ:

Задание 78.

Ответ:

Задание 79.

Ответ:

Задание 80.

Ответ:

 

Решите уравнения 81—108, сводя их к квадратным после преобразований и подходящей замены переменной:

Задание 81.

4^x - 10 • 2^x-1 =24

Решение:

Вводя замену 2^x = t > 0, получаем уравнение t² - 5t - 24 = 0, откуда t = -3 и t = 8. Первое значение не удовлетворяет неравенству t > 0, а второе дает уравнение 2^x = 8, т. е. х = 3.

Ответ:

3

Задание 82.

9^2x+4 + 4 =26 • 3^2x+3 + 3

Ответ:

-1

Задание 83.

Ответ:

1

Задание 84.

Ответ:

-2

Задание 85.

3 • 2^2-x -2^x-1 - 5 = 0

Ответ:

1

Задание 86.

3^x+3 - З^-x-1 -8 = 0

Ответ:

-1

Задание 87.

Ответ:

1

Задание 88.

Ответ:

-1; 1

Задание 89.

Ответ:

0

Задание 90.

log²₂ x + Iog₂ х - 6 = 0

Ответ:

Задание 91.

log²₃ x - Iog₃ х - 12 = 0

Ответ:

Задание 92.

lg (х² + 1) - 2 lg^-1 (х² +1) -1

Ответ:

{-3; 3}

Задание 93.

Ответ:

Задание 94.

Ответ:

Задание 95.

Ответ:

{10; 100}

Задание 96.

Ответ:

Задание 97.

Ответ:

Задание 98.

2 log_x+2 5 + 1 = Iog₅ (x + 2)

Ответ:

Задание 99.

Ответ:

Задание 100.

Решение:

Так как

то вводя обозначение

откуда

или

Ответ:

{-3; 3}

Задание 101.

Решение:

Полагая

получим уравнение

откуда

Так как

то из уравнений

находим x = +4.

Ответ:

{-4; 4}

Задание 102.

log₃² (4^x - 3) + Iog₃ (4^x - 3) - 2 = 0

Ответ:

Задание 103.

Решение:

Используя замену

получим уравнение

Отсюда

причем

не удовлетворяет неравенству 2t - 1 > 0. Из уравнения

находим

Ответ:

Задание 104.

lg (lg x) + lg (lg (x³) - 2) = 0

Решение:

Используя замену lg х = t, получим уравнение lg t + lg(3t - 2) = 0 или уравнение

Отсюда t = Igx = 1

и x = 10.

Ответ:

10

Задание 105.

8 • 9^x + 6^x+11 = 27 • 4^x

Решение:

Разделим обе части уравнения на 4^x и введем обозначение

Полученное уравнение 8t² + б? - 27 = 0 имеет корни

последний из которых не удовлетворяет неравенству t > 0. Из уравнения

находим х = 1.

Ответ:

1

Задание 106.

Ответ:

{1; Iog_3/2 12}

Задание 107.

Ответ:

4

Задание 108.

Ответ:

Решите уравнения 109—115, используя ограниченность или монотонность функций, входящих в состав уравнения:

Задание 109.

Решение:

Так как

то решениями
о
исходного уравнения могут быть лишь значения х, удовлетворяющие системе

откуда и следует, что x = 0.

Замечание:

При решении задач такого рода нет необходимости решать все входящие в их состав уравнения. Достаточно решить одно из них и отобрать те корни, которые удовлетворяют и другим уравнениям.

Ответ:

0

Задание 110.

Ответ:

-1

Задание 111.

Решение:

Функция у = 3^x-2 строго монотонно возрастает и положительна, а функция

там где она положительна, т. е. при х > 0, строго монотонно убывает, поэтому графики функций имеют единственную точку пересечения при х = 3.

Ответ:

3

Задание 112.

Ответ:

1

Задание 113.

27 • 4^x +7 • 9^x =15 • 25^x

Решение:

Корень

легко угадать, но нужно доказать, что это решение единственное. Разделим обе части уравнения на 9^x и получим уравнение

Так как

то функция

строго монотонно убывает, а функция

где

строго монотонно возрастает. Отсюда и вытекает единственность решения.

Ответ:

Задание 114.

Ответ:

Задание 115.

Ответ:

Решите уравнения 116—120, предварительно прологарифмировав обе части равенства:

Задание 116.

Решение:

Прологарифмируем обе части уравнения по любому основанию, например, по основанию 2. Получим уравнение (х² - х - 1)log₂ (x + 5) = (2х + 3) log₂ (x + 5), которое распадается на совокупность уравнений log₂ (x + 5) = 0 и х² - х - 1 = 2х + 3. Первое из них имеет корень х = -4, а второе — корни х = -1 и х = 4, причем оба эти значения удовлетворяют неравенству х + 5 > 0.

Ответ:

{-4; -1; 4)

Задание 117.

Ответ:

{-1; 1; 2}

Задание 118.

х^3lgx = 10х²

Ответ:

Задание 119.

Ответ:

Задание 120.

Ответ:

Решите следующие уравнения и системы уравнений (121—179):

Задание 121.

Ответ:

Задание 122.

2^2x+1 - 5 • 6^x + 3 • 9^x = 0

Ответ:

{-1; 0)

Задание 123.

Ответ:

0

Задание 124.

Ответ:

9

Задание 125.

Ответ:

{-1; 9)

Задание 126.

Ответ:

Задание 127.

Ответ:

Задание 128.

3^{lg tg x} - 2 • 3^{lg ctg x+1} = 1

Ответ:

arctg 10 + Пn; n € Z

Задание 129.

Ответ:

Задание 130.

log_x 2 • log_2x2 = log_4x2

Ответ:

Задание 131.

Ответ:

Задание 132.

Ответ:

Задание 133.

Ответ:

Задание 134.

Ответ:

{3; 81}

Задание 135.

Ответ:

4

Задание 136.

Ответ:

2

Задание 137.

Ответ:

log₃ 2

Задание 138.

Ответ:

0

Задание 139.

Ответ:

Задание 140.

8^x + 18^x = 2 • 27^x

Ответ:

0

Задание 141.

5 • 3^2x + 15 • 5^2x-1 = 8 • 15^x

Ответ:

{0; 1}

Задание 142.

2(x)^{lg x} + 3x^{-lg x} = 5

Ответ:

Задание 143.

Ответ:

4

Задание 144.

Ответ:

Задание 145.

1 + log_x-2(4x - 11) = 2 log_4x-11 (4x² - 19x + 22)

Ответ:

5

Задание 146.

Iog_3x+7(9 + 12x + 4x²) + Iog_2x+3 (6x² + 23x + 21) = 4

Ответ:

Задание 147.

Ответ:

{1; 3}

Задание 148.

9 log_{sin 2x} (4 cos² x) + 8 Iog_{2cos x} (sin x) = 16

Ответ:

Задание 149.

(tg x)^{2 sin x} = 1

Ответ:

Задание 150.

(1 - cos x)^{sin x} = 1

Ответ:

Задание 151.

Ответ:

Задание 152.

Ответ:

Задание 153.

Ответ:

Задание 154.

Решение:

Наименьшее значение выражения

равно 2 и достигается при х = 2. Наибольшее же значение функции

равно 2. Равенство значений этих функций может осуществиться только при х = 2.

Ответ:

2

Задание 155.

Iog₂ (4x² + 1) - Iog₂ x = 8x(1 - x).

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения к виду

где х > 0. Наименьшее значение функции

и достигается при

т. е. наименьшее значение функции

Соответственно в правой части наибольшее значение функции 8x(1 - х) равно 2 и достигается при

Равенство выполняется только при

Ответ:

Задание 156.

Ответ:

Задание 157.

x² • 2^x+1 + 2^{|x -3|+2} =x² • 2^{|x -3|+4} + 2^{x -1}

Ответ:

Задание 158.

Решение:

Полагая

получим систему уравнений

Таким образом,

Ответ:

Задание 159.

Решение:

Из вида уравнения следует, что

т. е. х € [1; 10). Таким образом, сумма 1 + lg х + lg² х + ... является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии и равна

Заметим также, что

С учетом этого исходное уравнение преобразуется к виду

Отсюда, вводя обозначение

получаем уравнение t² - t - 2 = 0, корни которого t = 2 и t = -1 (последний не удовлетворяет условию t > 0). Из уравнения

т. е. х = 10^3/4.

Ответ:

Задание 160.

Решение:

При указанных значениях х суммы 1 + lg x + + lg² х + ... и 1 - lg х + lg² x - ... являются суммами бесконечно убывающих геометрических прогрессий и равны соответственно

и

Сумма логарифмов в правой части уравнения преобразуется к виду

Так как

то правая часть уравнения равна

и исходное уравнение преобразуется к виду

Возводя обе части в квадрат и вводя обозначение

получим уравнение 6t² - t - 1 = 0, имеющее корни

Учитывая, что t > 0, переходим к уравнению

Ответ:

Задание 161.

Ответ:

(0; 1); (1; 0)

Задание 162.

Ответ:

(-2; 0)

Задание 163.

Ответ:

(4; 4)

Задание 164.

Ответ:

Задание 165.

Ответ:

Задание 166.

Ответ:

{(9; 7); (9; -7)}

Задание 167.

Ответ:

Задание 168.

Ответ:

(4; 1)

Задание 169.

Ответ:

(4; 16)

Задание 170.

Ответ:

(16; 4)

Задание 171.

Ответ:

{(1; 1); (3; 9)}

Задание 172.

Ответ:

{(9; 3^2/3);(3^2/3; 9)}

Задание 173.

Решение:

Так как - ху - 2х + у + 2 = (1 - x)(2 + у), то с учетом соотношений 1 - х > 0, 1 - х # 1 и 2 + у >0, 2 + у # 1 первое
уравнение преобразуется к виду log²_1-x (2 + у) - 2log_1-x(2 + у) + 1 = 0, откуда log_1-x(2 + у) — 1 или 1-х = 2 + у. При этих условиях второе уравнение преобразуется в уравнение log_1-x (4 - х) - log_1-x(х + 4) = 1, которое имеет единственный корень х = -2, соответственно у = 1.

Ответ:

(-2; 1)

Задание 174.

Ответ:

Задание 175.

Ответ:

Задание 176.

Ответ:

Задание 177.

Ответ:

{(3; 10); (-20; 36)}

Задание 178.

Ответ:

(log_9/2 2; 2log_9/22)

Задание 179.

Ответ:

(log_4/3 2; 2 log_4/32)

Задание 180.

Решите уравнение

и укажите все решения, входящие в область определения функции

Ответ:

Задание 181.

Решите уравнение

и укажите все решения, входящие в область определения функции

Ответ:

Задание 182.

Решите систему уравнений

зная, что величины log_y x; Iog_z у и log_x z образуют геометрическую прогрессию.

Ответ:

(2; 2; 2)

Упростите следующие выражения (183—200):

Задание 183.

Решение:

Имеем

Ответ:

Задание 184.

Ответ:

Задание 185.

Ответ:

Задание 186.

Ответ:

Задание 187.

Ответ:

Задание 188.

Ответ:

Задание 189.

Ответ:

4

Задание 190.

Ответ:

3

Задание 191.

Ответ:

3

Задание 192.

Ответ:

2

Задание 193.

Iog₃ 5 Iog₄ 9 Iog₅ 2

Ответ:

1

Задание 194.

lоg₂ 3 lоg₃ 4...log₉ 10

Ответ:

Iog₂ 10

Задание 195.

Igtg 3° Igtg 6°...Igtg 87°

Ответ:

0

Задание 196.

Igtg 1° + Igtg 2° + ... + Ig tg 89°

Ответ:

0

Задание 197.

Решение:

Учитывая, что

находим

Ответ:

2

Задание 198.

Ответ:

2

Задание 199.

Ответ:

3

Задание 200.

Указание:

Учтите, что

Ответ:

-3

Задание 201.

Найдите Iog₂ 392, если Iog₂ 7 = a

Решение:

Так как 392 = 8 • 49 = 23 • 72, то Iog₂ 392 = 3 + + 2 Iog₂ 7 = 3 + 2а.

Ответ:

3 + 2а

Задание 202.

Ответ:

Задание 203.

Найдите Ig₃₀8, если Ig 5 = a, Ig 3 = b

Ответ:

Задание 204.

Найдите Iog₃ 200, если Iog₃ 5 = a, Iog₂ 3 = b

Ответ:

Сравните величины а и b (205—210):

Задание 205.

Ответ:

а < b

Задание 206.

Ответ:

а < b

Задание 207.

a = Iog₃4 и b = Iog₄5

Ответ:

а > b

Задание 208.

Решение:

Имеем

но

Значит, a > b.

Ответ:

a > b.

Задание 209.

Решение:

Имеем

Ответ:

a > b

Задание 210.

Ответ:

a < b

Постройте графики следующих функций и уравнений (211—230):

Задание 211.

у = 3^x

Ответ:

Задание 212.

Ответ:

Задание 213.

у = Iog₂x

Ответ:

Задание 214.

Ответ:

Задание 215.

у = 2^x-1 + 1

Ответ:

Задание 216.

у = -Iog₃(x - 3) + 2

Ответ:

Задание 217.

y = Iog₂|x - 2

Ответ:

Задание 218.

Ответ:

Задание 219.

Ответ:

Задание 220.

у = |log₂x²|

Ответ:

Задание 221.

|y| = Iog₃ x - 1

Ответ:

Задание 222.

|y| = Iog₂ (|x| - 2)

Ответ:

Задание 223.

у = lg (х² + х - 6)

Ответ:

Задание 224.

j/ = Iog₂ (6x - х² - 5)

Ответ:

Задание 225.

Ответ:

Задание 226.

Ответ:

Задание 227.

у = Iog₂sin²x

Ответ:

Задание 228.

у = 3^{cos x}

Ответ:

Задание 229.

Ответ:

Задание 230.

Ответ:

 

• При решении показательных и логарифмических неравенств следует помнить, что функции у = а^x и у = log_a х (а > 0; а # 1) являются возрастающими при а > 1 и убывающими при 0 < a < 1 на своей области определения. Рассмотрим решения простейших неравенств:

С помощью тождественных преобразований более сложные неравенства сводятся к простейшим.

Решите следующие показательные и логарифмические неравенства (231—330):

Задание 231.

Ответ:

Задание 232.

Ответ:

Задание 233.

Ответ:

(1; 4]

Задание 234.

Ответ:

Задание 235.

Ответ:

Задание 236.

Ответ:

Задание 237.

Ответ:

[1; 5]

Задание 238.

Ответ:

(-1; 3)

Задание 239.

Ответ:

Задание 240.

Ответ:

Задание 241.

Ответ:

Задание 242.

Ответ:

Задание 243.

Ответ:

Задание 244.

Ответ:

(-1; 1) U (2; 4)

Задание 245.

Ответ:

Задание 246.

Ответ:

Задание 247.

Ответ:

Задание 248.

Ответ:

Задание 249.

Ответ:

(3; 5]

Задание 250.

2log₂(x + 1)< Iog₂(x + 7)

Ответ:

(-1; 2)

Задание 251.

Ответ:

(0; 27)

Задание 252.

Ответ:

Задание 253.

Ответ:

Задание 254.

Ответ:

Задание 255.

Ответ:

Задание 256.

Ответ:

Задание 257.

Ответ:

(1; 2)

Задание 258.

Ответ:

[2; 4)

Задание 259.

Ответ:

Задание 260.

Ответ:

Задание 261.

Ответ:

(1; 2) U (2; 3) U и {4}

Задание 262.

Ответ:

(-5; -4) U {0}

Задание 263.

Ответ:

Задание 264.

Ответ:

Задание 265.

Ответ:

Задание 266.

36^x - 6^x+1 + 8 > 0

Ответ:

Задание 267.

Ответ:

Задание 268.

Ответ:

Задание 269.

Ответ:

Задание 270.

Ответ:

Задание 271.

Ответ:

Задание 272.

Ответ:

Задание 273.

Ответ:

Задание 274.

Ответ:

Задание 275.

Ответ:

Задание 276.

Ответ:

Задание 277.

Ответ:

Задание 278.

Ответ:

Задание 279.

Ответ:

Задание 280.

Ответ:

(0; 1) U {5}

Задание 281.

(log_x 2)(log_2x 2)lоd₂4x > 1

Ответ:

Задание 282.

Ответ:

Задание 283.

Ответ:

Задание 284.

Ответ:

Задание 285.

Ответ:

[125; 15 625)

Задание 286.

Ответ:

Задание 287.

Ответ:

Задание 288.

Ответ:

Задание 289.

Ответ:

Задание 290.

Ответ:

Задание 291.

Ответ:

Задание 292.

log_1-x(2 + x) < 1

Ответ:

Задание 293.

Iog_2x(8 - x²) < 1

Ответ:

Задание 294.

Ответ:

Задание 295.

Ответ:

Задание 296.

Ответ:

(0, 1) U (2, 6)

Задание 297.

Ответ:

Задание 298.

Ответ:

Задание 299.

Ответ:

Задание 300.

Ответ:

Задание 301.

|15 - 5 • 2^-x | > 4^-x* - 6 • 2^-x + 13

Ответ:

Задание 302.

|4 • 3^x - 8| > 9^x - 4 • 3^x + 7

Ответ:

Задание 303.

Ответ:

Задание 304.

Ответ:

Задание 305.

Ответ:

Задание 306.

Ответ:

Задание 307.

Ответ:

Задание 308.

Ответ:

Задание 309.

Ответ:

Задание 310.

Ответ:

Задание 311.

Ответ:

Задание 312.

Ответ:

Задание 313.

Ответ:

Задание 314.

Ответ:

Задание 315.

Ответ:

Задание 316.

Ответ:

{3}

Задание 317.

Ответ:

{2}

Задание 318.

Ответ:

Задание 319.

Ответ:

Задание 320.

Ответ:

(-3; -2] U (2; 3)

Задание 321.

Ответ:

(-2; -1] U (1; 2)

Задание 322.

Ответ:

Задание 323.

Ответ:

Задание 324.

1 + Iog₂ (x + 10) > log_(x-2)(x-4) (х - 2)(x - 4)

Ответ:

Задание 325.

1 + Iog_0,5 (8 -x)< log_(x-1)(x-2) (x + 1)(x - 2)

Ответ:

Задание 326.

Ответ:

(2; 2,5) U (2,5; 3)

Задание 327.

Ответ:

Задание 328.

Решение:

При любых

выражение 4^-x + 3 • 2^x больше 1. Действительно, если

а если х < 0, то 4 ^-x* > 1. Значит, исходное неравенство может выполняться только при условии

Полагая Iog₇ х = t, то данное неравенство сводится к виду

Значения х находим из совокупности решений уравнения Iog₇ х = 1, х = 1 и неравенства Iog₇ х < 0, откуда х = 7 и x € (0; 1).

Ответ:

(0; 1) U {7}

Задание 329.

Ответ:

Задание 330.

Ответ:

Решите следующие системы (331—336):

Задание 331.

Решение:

Выразим из уравнения

и подставим в неравенство. Получим неравенство

которое выполняется только при х = 0. Отсюда х = 0; у = -2,5.

Ответ:

Задание 332.

Ответ:

{(0; 1); (0; -1)}

Задание 333.

Ответ:

Задание 334.

Ответ:

Задание 335.

Ответ:

{(-2; -2); (4; -2)}

Задание 336.

Ответ:

{(-4; 4); (7; 4)}

Задание 337.

Найдите все значения x, для которых величина

удовлетворяет уравнению

Ответ:

Задание 338.

Найдите все значения х, для которых величина

удовлетворяет уравнению

Ответ:

Решите неравенства 339—342 и укажите все значения параметра а, при которых любое решение неравенства входит в область определения данной функции у = f(x):

Задание 339.

Ответ:

Задание 340.

Ответ:

Задание 341.

Ответ:

Задание 342.

Ответ:

Решите следующие уравнения, неравенства и системы уравнений (343—392):

Задание 343.

(2^x + 2а - 1) (а + 1 - 2^x) = 0

Ответ:

Задание 344.

(2^-x + Зс + 4) (5 - с - 2^-x) = 0

Ответ:

Задание 345.

Ответ:

Задание 346.

Ответ:

Задание 347.

Ответ:

При

при а € (-1; 9] => х₁ = 9, х₂ = 99, x₃ = а; при а € (9; 99] => x₁ = 99, x₂ = а; при

Задание 348.

Ответ:

при

при с € (-9; 0] => x₁ = 3, х₂ = 75, х₃ = с + 3; при с € (0; 72] => x₁ = 75, х₂ = с + 3; при

Задание 349.

Решение:

Полагая 3^x = t > 0, переходим к уравнению t² - 2at — 4 + 4a =0, корни которого t₁ = 2 и t₂ = 2а — 2. Из соотношения t = 3^x = 2 получаем х = Iog₃2 при любых

Во втором случае, когда 3^x = 2а -2, решение возможно лишь при а > 1 и х = = Iog₃(2a - 2), откуда и получаем ответ.

Ответ:

при

при

Задание 350.

16^-x -4b • 4^-x = 76 + 6

Решение:

Полагая 4^-x = t, переходим к уравнению t^-2- 4bt - 7b - 6 = 0, откуда

Решение существует только при тех b, когда t₁ или t₂ положительны. Решив неравенство

находим

Неравенство

не выполняется ни при каких b. Отсюда и получаем ответ.

Ответ:

при

При

Задание 351.

Решение:

Полагая 2^x = t > 0, получим уравнение

сводящееся к квадратному уравнению t² - 2t - а = 0, t # 1, корни которого

Чтобы удовлетворялось условие t > 0, мы должны были бы решить иррациональные неравенства, позволяющие найти соответствующие значения а, но гораздо удобнее воспользоваться другим методом рассуждений.

Разрешим уравнение t² - 2t - а = 0 относительно параметра а, т. е. а = t² - 2t, и рассмотрим в координатах (t; у) графики функций у = t² - t, где

Из анализа расположения графиков функций сразу же вытекает, что при

решений нет, при а € (-1; 0) существуют два положительных решения

только одно положительное решение

Отсюда легко находим значения х.

Ответ:

при

при

Задание 352.

Ответ:

при

при

при

Задание 353.

alg²(x² + 10) + 2lg(x² + 10) + 8а = 0

Решение:

Положим

и получим уравнение at² + 2t + 8a = 0, откуда

Значения а можно найти, решив неравенство

что, вообще говоря, не просто. Гораздо удобнее, выразив а из квадратного уравнения, построить графики функций

Так как t₁ и t₂ являются абсциссами точек пересечения этих линий, то из расположения графиков этих функций легко находим те значения а, при которых существуют значения t₁ и t₂ соответствующие им значения х.

Ответ:

при

при

при

при

Задание 354.

Ответ:

при

при

Задание 355.

Iog₃ cos х - Iog₄ cos х - Iog₉ cos x = a - 1

Ответ:

при

при

Задание 356.

Ответ:

при

при

Задание 357.

-0,5 + log_b-3 (sin 2x) = log_b-3(cos x)

Ответ:

при

при

Задание 358.

2 + Iog_b+3(sinx) = log_b+3(sin 2x)

Ответ:

при

при

Задание 359.

Ответ:

при

при

Задание 360.

4^{sin x} -a - 3 = (a + 2) • 2^{sin x}

Ответ:

при

при

Задание 361.

Ответ:

при

при

при

Задание 362.

Ответ:

при

при

Задание 363.

Ответ:

при

при

при

при

Задание 364.

Ответ:

при

при

Задание 365.

Решение:

Из исходного уравнения следует, что

Для существования решений этого уравнения необходимо, чтобы

При выполнении этого условия уравнение превращается в совокупность двух уравнений:

3^-c - 23 = = 6x - 5 - х² и 3^-c - 23 = -6x + 5x + x². С учетом того, что дискриминанты в этих уравнениях должны быть неотрицательны, получаем ответ.

Ответ:

при

при

при

Задание 366.

Iog₃ (31 - |x² - 6x + 5|) = c

Ответ:

при

при

при

Задание 367.

Iog₄(x - 5) = -Iog_0,25(|a - x| - 3)

Решение:

Учитывая, что

получаем уравнение х - 5 = |а - ч| - 3, т. е. ч - 2 = |а - ч|. Так как х > 5, то левая часть уравнения положительна и уравнение распадается на совокупность двух уравнений: х - 2 = а - х и х - 2 = х - а. Из первого находим

а учитывая неравенство

получаем a > 8. Второе уравнение выполняется при любом х > 5, если a = 2, а при других
значениях а решения не имеет.

Ответ:

при

при

при

Задание 368.

Iog₃(6 - x) = 2 log₉(3 - |6 - x|)

Ответ:

при

при

Задание 369.

log_d(4x + d) = log_d (x² - 4)

Ответ:

при

при

при

Задание 370.

log_a(a + 5x) = log_a (x² - 6)

Ответ:

при

при

при

Задание 371.

Ответ:

при

при

Задание 372.

Ответ:

при

при

Задание 373.

Ответ:

при

при

при

Задание 374.

Ответ:

при

при

при

при

Задание 375.

Ответ:

при

Задание 376.

Ответ:

при

при

Задание 377.

Решение:

Так как

то задача сводится к решению неравенства

Для решения этого неравенства на координатной плоскости (х; b) найдем области, где выражение, стоящее в левой части неравенства, сохраняет знак и определим его. Границы этих областей задаются соотношениями x + 1 > О, х + 1 = 1, т. е. х = 0 к b = х. На рис.

заштрихованы те области, координаты точек которых удовлетворяют неравенству. Отсюда и вытекает окончательный результат.

Ответ:

при

при

при

Задание 378.

Ответ:

при

при

при

Задание 379.

Решение:

Положим

и рассмотрим полученное неравенство (а - 6)t < а - 2. На координатной плоскости (t; а) изобразим области, координаты точек которых удовлетворяют этому неравенству. Границы этих областей определяются соотношениями t = 1 и (а - 6)t — а - 2 или

На рис.

нужная нам область заштрихована.

Отсюда при

и при

Учитывая, что

получаем окончательный результат.

Ответ:

при

Задание 380.

Ответ:

при

при

при

Задание 381.

Решение:

На координатной а х = а плоскости (х; а) изобразим области, в которых левая часть неравенства сохраняет знак. Границы областей определяются соотношениями x + 1 = 0, х - а = 1, х - 2 = 0, х - а > 0. На
рис.

области, где левая часть положительна, заштрихованы. Границы, координаты точек которых не удовлетворяют неравенству, изображены пунктиром.

Следует учесть, что при переходе через границу а = х - 1 выражение Iog²₃ (х - а) знак не меняет. Отсюда получаем ответ.

Ответ:

при

при

при

Задание 382.

Ответ:

при

при

при

при

при

Задание 383.

Ответ:

при

при

при

при

Задание 384.

Решение:

Перейдем в исходном неравенстве к основанию 2 и получим неравенство

Если

т. e.

то получаем

откуда

Аналогично рассматриваем оставшиеся случаи

Ответ:

при

при

при

Задание 385.

Ответ:

при

при

при

Задание 386.

Решение:

После несложных преобразований придем к неравенству

Поскольку х < 3, при таких значениях x имеем 12 — 11^x-2 > 0 и неравенство сводится к виду

откуда получаем окончательный результат.

Ответ:

при

при

Задание 387.

Ответ:

при

при

Задание 388.

Ответ:

при

при

при

при

при

Задание 389.

log_a (x² + 4x - 1) < Iog_2a (x² + 4x - 1)

Решение:

Переходя к основанию 2, преобразуем неравенство к виду

Если

то решение сводится к решению неравенства Iog₂ (x² + 4х - 1) < 0. Если же Iog₂ a(Iog₂ a + 1) < 0, откуда

получаем неравенство Iog₂ (x² + 4х - 1) < 0. Из этих соотношений и получаем ответ.

Ответ:

при

при

Задание 390.

log_x+a+2(2x + a) < 1

Ответ:

при

при

при

Задание 391.

Ответ:

при

при

Задание 392.

Ответ:

при

при

Установите, при каких значениях параметров следующие неравенства выполняются для всех х € Л (393—397):

Задание 393.

Решение:

Исходное неравенство сводится к системе неравенств

первое из которых выполняется для любых х € R, а для двух других это условие будет реализовано при значениях b, удовлетворяющих следующей системе неравенств:

Решив эту систему, находим, что

Ответ:

Задание 394.

Ответ:

Задание 395.

Ответ:

Задание 396.

Ответ:

а € (-3; -1) и (2; 4)

Задание 397.

a • 9^x + 4(a - 1) • 3^x + a > 1

Ответ:

Установите, при каких значениях параметра следующие уравнения и неравенства имеют хотя бы одно решение (398—400):

Задание 398.

(а - 3) • 4^x - 8 • 6^x + (а + 3) • 9^x = 0

Ответ:

а € (-3; 5]

Задание 399.

Решение:

Положим

и перейдем к неравенству

Найдем наименьшее значение функции

Из условия

получаем, что функция имеет минимум при t = 1, а значение функции при t = 1 равно 2. Отсюда вытекает, что при

неравенство имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

Задание 400.

log_a+x х(а - х) < log_a+x х

Ответ:

Задание 401.

При каких а уравнение

не имеет решений?

Ответ:

Задание 402.

При каком с € R уравнение

имеет единственное решение?

Решение:

Введем обозначение 3^-x = t > 0 и перейдем к уравнению t² - (с + 2)t + (1 - с)(2с + 1) = 0, корни которого t₁ = 2с + 1 и t₂ = 1 - с. Уравнение имеет единственное решение, когда t₁ и t₂ имеют разные знаки, т. е.

или когда t₁ = t₂ > 0, т. е. при с = 0.

Ответ:

Задание 403.

При каком а € R уравнение

имеет единственное решение?

Ответ:

Задание 404.

Найдите все а, при которых уравнение

имеет три различных решения.

Ответ:

Задание 405.

Найдите все а, при которых неравенство

56 • 3^x > 9^x - а

не имеет ни одного целочисленного решения.

Ответ:

Задание 406.

Найдите все значения а из интервала (2; 5), при каждом из которых существует хотя бы одно х € [2; 3], удовлетворяющее уравнению

Решение:

Рассматривая возможные значения функций в левой и правой частях равенства, легко заметить, что

и равенство возможно только при выполнении условий

Первое из этих уравнений при х € [2; 3] имеет единственное решение

Значения a € (2; 5) находим, решив уравнения

откуда получаем

Ответ:

Задание 407.

Найдите сумму всех значений параметра а из интервала (2; 7), при каждом из которых существует хотя бы одно х € [1; 2], удовлетворяющее уравнению

Ответ:

Задание 408.

При каких значениях b наименьшее значение функции

у = Iog₂ (1 + 3 sin² х) [Iog₂ (1 + 3 sin² х) - b - 1] -- b² + 3b + 7 равно 2?

Ответ:

Задание 409.

При каких значениях d наименьшее значение функции

не меньше (-1)?

Ответ:

Задание 410.

При каких значениях а периметр фигуры, заданной на координатной плоскости условием:

является наименьшим?

Ответ:

Задание 411.

Найдите все а и b, при которых наибольшее значение функции

на отрезке [-1; 1] является наименьшим.

Ответ: