Лекции по Математическому анализу

align="ABSMIDDLE" />

5. Пусть инт-ма на  модуль ф-ии тоже интегрируем на и справедливо неравенство:

6. Пусть интегрируема на , , то существует М, такая что

Интеграл как ф-ия переменного верх. предела.

Пусть ф-ия инт. на , , то она инт. на любом отрезке между

Рассмотрим определенный интеграл . Из определения опр. интеграла следует,что любому х соот. единст. значние этого интеграла.

Определенный интеграл с перемнного верх. предела – есть ф-ия своего предела

1 теорема Гульдена

Ph Гульдена Пусть криволинейная трапеция вращ. вокруг оси oX. Тогда она опишет тело вращения с массой

из формулы для центра масс знаем:

Объем тела, полученного вращением крив. трапеции, равно произведению площади этой трапеции на длину окружности, описанную из центра масс.

Однородная плоская дуга

От точки с абсциссой х отложим дугу длины . Тогда ,

2 теорема Гульдена

Пусть плоская дуга вращается вокруг оси oX. Она опишет площадь:

Площадь поверхности, полученная вращением дуги, равна произведению длины этой дуги на длину окр-ти, описыв-ю ц. масс.

Несобств. интегралы.

Для существования определенного интеграла должны выполняться два условия:

Предел интегрирования конечный;
Подынтегральная ф-ия ограничена.

Нарушение этих двух условий приводит к несуществующему интегралу.

В этом случае вводится обобщение определенного интеграла, который называется несобственным интегралом.

1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования.

а) - Пусть - интегрируема на любом, где , то по определению:

Если предел в правой части существует и конечен, говорят, что, инт. сходится; нет - расходятся.

б)

в) Этот случай сводится к предыдущему ***

, ; Результат от с не зависит

Zm: Инт. в левой части существует, если интеграл в правой части существует по отдельности, т.е. предел интегрирования в этих интервалах надо обозначать разными буквами.

Признаки сходимости

В некоторых случаях достаточно знать, сходится интеграл или нет, без его вычисления. Для этого применяется признак сравнения.

1). Пусть и интегрируемы наи удовлетворяют на этом промежутке неравенству:, то справедливо следующее утверждение:

Обратное утверждение неверно!!!

R_n

*******

На арифм. эмерном пространстве метрика вводится по формуле:

, где

Арифм. эмерное пространство, сведенное с метрикой по формуле - евклидово пространство.

Понятие окрестности в R_n

Интегрирование с помощью подстановки.

Пусть подынтегральная ф-ия в интеграле непрерывна на Х и ф-ия дифф. на промежутке Т и имеет на нем обратную ф-ию с на промежутке Х , тогда справедливо:

Алгоритм интегрирования подстановкой.

Для интеграла подынтегральная ф-ия такая, что является табличным или сводится к нему так, что легко находится .
Нах. обратную ф-ию и подставляем в , которая и будет первообразной для исходного интеграла.

Алгоритм:

Часть подынтегрального выражения вводится под знак дифференциала и полученное выражение под знаком дифференциала обозначается как новая переменная.
В подынтегральной ф-ии делается замена переменной на новую, находится от новой переменной.
В возвращ. к старой переменной.

Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Пример:

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

(Pn –многочлен степени n )

Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

за u 

Интегрирование с подстановкой выражений вида после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.

Интегрирование дробно-рациональных выражений

Df Дробно-рациональная ф-ия - отношение 2^х многочленов - многочлены степени n и m соответственно.

Рациональная дробь правильная, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, обратно - неправильная.

Zm Неправильная рациональная дробь путем выделения целой части приводится к сумме многочлена и правильной рациональной дроби; многочлен называется целой частью неправильной дроби.

Простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение.

К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов:

- вещественные постоянные