Аналіз стійкості процесів в нелінійній схемі

Размещено на /

Контрольна робота з теми:

АНАЛІЗ СТІЙКОСІ ПРОЦЕСІВ В НЕЛІНІЙНІЙ СХЕМІ

1. Основні поняття теорії стійкості

Будемо розглядати стійкість двох станів нелінійних схем – періодичного режиму та положення рівноваги.

В положенні рівноваги схема знаходиться при вимкненій зовнішній дії, але при збережені джерел постійної напруги. Отже, в положенні рівноваги в елементах схеми протікають тільки постійні струми і на елементах діють лише постійні напруги. Цей стан має бути нестійким в автогенераторі і, навпаки, стійким в підсилювачі, помножувачі частоти та інших подібних пристроях.

Нагадаємо, що означає стійкість якого-небудь стана системи. Щоб вирішити стійкий виділений нами стан, треба вивести систему з нього і прослідкувати за її поведінкою. Якщо з часом система повернеться до початкового стану, або приблизиться до нього, то цей стан зветься стійким, або по-іншому – стійким за Ляпуновим. Якщо з часом система віддаляється від початкового стану, то його звуть нестійким.

Прийнято наступну термінологію. Початковий стан системи отримав назву незбудженого руху. Процес, протікаючий в системі після того, як вона виведена з початкового стану, зветься збуреним рухом. Різницю між вказаними рухами назвали збуренням. Очевидно, при стані, стійким по Ляпунову, збурення протягом часу не зростають, при асимптотичній стійкості – прямує до нуля, а при нестійкому – зростають. Таким чином, для аналіза стійкості треба знати поведінку збурень. Складність задачі про їх поведінку визначається початковими значеннями збурень – довільне воно або мале порівняно з шуканим рухом. У зв’язку з цим стійкий стан, знайдений при довільному, але кінцевому відхиленню від нього, звуть стійким в великому. Стійкий стан, отриманий при малому відхиленні від початкового руху, звуть локально стійким (стійким в малому).

Знайдемо рівняння, якому підпорядковані збурення

. (1)

Нехай - стаціонарний стан, стійкість якого досліджується. При маємо положення рівноваги, а при - періодичний режим. Запроваджуючи збурення , запишемо збурений рух

. (2)

Підставимо (2) в (1) і врахуемо, що - рішення (1):

(3)

Отримаємо, що довільні збурення описуються автономним (без правої частини) нелінійним диференційним рівнянням. Нелінійність рівняння зберігається при усякому шуканому стані – положенні рівноваги або періодичному режимі.

Розглянемо малі збурення, для яких справедливі умови . Це дає можливість нелінійну функцію з (3) розкласти в ряд по ступеням малих відхилень, обмежуваючись двома першими членами,

,

.

Підстановка в (3) дає

(4)

Тут квадратні дужки вказують на те, що похідні беруться при .

Коли , то , - диференційна провідність і ємність в робочій точці нелінійних елементів. Якщо , то , .

Таким чином, малі збурення описуються лінійним диференційним рівнянням, коефіцієнти якого постійні в випадку, коли розглядається стійкість положення рівноваги, і виявляються періодичними функціями часу для збурень періодичного процесу.

Очевидно, що для виділених станів схеми аналіз стійкості у великому найбільш складний, оскільки він зв’язаний з рішенням диференційного рівняння. Наступним за складністю буде вивчення локальної стійкості періодичного режиму, а самим простим – аналіз локальної стійкості – в малому, або в великому – важливо при схемотехнічному проектуванні розглядених вузлів.

В автогенераторі положення рівноваги повинно бути нестійким, тому можна обмежитися вивченням локальної стійкості. Той самий стан в підсилювачі потужності і подібних схемах повинен бути стійким. В ході налагодження таких вузлів відхилення від стана рівноваги може і не бути малим. Тому необхідний аналіз стійкості в великому.

Періодичний режим в схемах, де він є робочим, повинен бути стійким, причому бажано, щоб стійкість збереглася і при великих відхиленнях. Стійкість періодичного режиму в великому можливо замінити вимогами про існування в схемі єдиного періодичного режиму. Нелінійні схеми, наділені вказаними властивостями, звуть конвергентними.

З’ясуємо характер стійкості, котрий нас цікавить у розгляданих схемах, розглянемо питання, як доцільно проводити аналіз.

Насамперед відмітимо, що критерії конвергентності встановлені лише для кіл з нелінійними опорами. Їх в загальному випадку не можна розповсюджувати на схеми, в яких є нелінійні ємності та індуктивності. Далі, якщо встановлена стійкість положення рівноваги в великому, наприклад, в підсилювачі потужності, то це не гарантує навіть локальної стійкості періодичного режиму.

Прийнявши до уваги викладене, а також складність вивчення стійкості положення рівноваги в великому, приходимо до висновку: на сьогодення змушені обмежиться аналізом стійкості в малому. Це не дозволяє стверджувати, що в проектуємій схемі не виникають ніякі паразитні ефекти. Останнє примусить нас робити в ряді випадків деякі додаткові обчислення. Наприклад, встановити, чи виходить підсилювач потужності із положення рівноваги в періодичний режим при подачі на вхід схеми зовнішнього сигналу.

2. Методи аналізу стійкості положення рівноваги

Малі збурення положення рівноваги описуються лінійним диференційним рівнянням з постійними коефіцієнтами. Так отримаємо

. (5)

Тут - малі збурення, , - диференційна провідність і ємність в робочій точці, - оператор диференціювання, - провідність лінійної частини схеми.

Вираз (5) звуть рівнянням першого зближення. Йому відповідає лінійна схема, яка виходе із шуканої шляхом ввімкнення зовнішнього джерела живлення та заміни нелінійного опора і ємності на лінійні елементи з номіналами і . Таку схему називають лініаризованою.

Для вирішення питання відносно локальної стійкості використовується теорема, яку довів А.М. Ляпунов. Приведемо її в такій формі: якщо усі корені характеристичного полінома рівняння першого приближення мають від’ємні дійсні частини, то положення рівноваги асимптотично стійке. Якщо серед характеристичних коренів є хоч один з додатною дійсною частиною, то положення рівноваги нестійке.

З теореми витікає, що рівняння першого зближення не вирішує питання про стійкість при характеристичних коренях з нульовою дійсною частиною. Це так званий, критичний випадок. Ми не будемо на ньому зупинятися, вважаючи, що малою зміною якого-небудь параметра схеми ми від нього відходимо.

Таким чином, для аналізу стійкості положення рівноваги треба вирішити дві задачі: знайти характеристичний поліном лініарізованої схеми і встановити знак дійсної частини коренів цього поліному.

Друга задача була вирішена ще в минулому столітті. Це дало критерії стійкості, пізніше названими алгебраїчними. За їх допомогою про знак дійсної частини характеристичних коренів гадають по співвідношенню між коефіцієнтами полінома. Оскільки критерії стійкості, як алгебраїчні, так і частотні, докладніше розглянуті в ряді підручників, то обмежимось тут такими ствердженнями: найбільш зручний для обчислень на ЕОМ критерій Рауса; проводити за його допомогою аналіз можна лише при додатності усіх коефіцієнтів характеристичного полінома (інакше – якщо хоч один з коефіцієнтів від’ємний – серед коренів полінома будуть такі, у яких дійсна частина додатна і які називаються правими, тому що вони розташовуються в правій частині комплексної площини).

З появою ЕОМ і розвитком програмного забезпечення можливо вирішення другої задачі, пов’язаної з розрахунком характеристичних коренів. Це дає користувачу більш повну інформацію, дозволяючи, наприклад, при нестійкості локалізувати по мінімальній частині правих коренів елементи схеми, які більше всього впливають на стійкість.

Звернемось до першої задачі. Послідовність дій при її вирішені може бути такою. В шуканій нелінійній схемі знаходиться положення рівноваги – робоча точка на характеристиках нелінійних елементів. Ці характеристики лініарізуються в малому оточенні робочої точки і робиться перехід до лініарізованої схеми. Така схема є еквівалентною для малих відхилень від положення рівноваги. Для неї складається характеристичний поліном.

Всі етапи, до отримання еквівалентної схеми, можна зробити за допомогою ЕОМ. Доцільно покласти на машину і складання характеристичного полінома, тому, що при високому порядку схеми трудомісткість ручної роботи велика та зростає вірогідність помилок. Для розрахунка коефіцієнтів характеристичного полінома потрібна програма, яка дозволяє скласти функції кола в символьному та чисельно-символьному вигляді.

Довільна функція кола уявляє собою відношення поліномів від

.

Коефіцієнти поліномів залежать від параметрів елементів схеми.

Будемо казати, що функція кола записана в чисельно-символьному вигляді, якщо коефіцієнти її поліномів – числа. Очевидно, що при цьому всі параметри елементів схеми задані чисельними значеннями. Якщо всі або частина параметрів можуть приймати різні значення з деякого чисельного інтервалу, то такі елементи позначають символами (наприклад, , , і т.д.). Тоді коефіцієнти поліномів будуть функціями символів. Тепер будемо вважати, що функція кола подана в символьному вигляді.

Покажемо, як по функції кола визначити характеристичний поліном. Нехай відносно довільних двох точок еквівалентної схеми для малих збурень знайдено вхідний опір

,

де - джерело струма, ввімкнене на виділених затискачів схеми;

- напруга, викликана цим джерелом.

Представимо зв’язок між струмом і напругою в вигляді

.

Оскільки - оператор диференціювання, то цей вираз – диференційне рівняння, в якому - реакція схеми на зовнішній вплив . При рівняння описує приватні коливання напруги в схемі, тому - характеристичний поліном. Аналогічно виділяють характеристичні поліноми і при інших функціях кола.

Ми не будемо конкретизувати алгоритм аналізу локальної стійкості положення рівноваги нелінійної схеми, так як він залежить від програм, якими володіє розробник.

Накінець, розглянемо причини, які можуть порушити стійкість положення рівноваги в схемі. Частіш усього, таких причин дві – зворотній зв’язок та елементи, в характеристиці яких є спадаюча ділянка.

Зворотній зв’язок в окремих схемах створюється штучно, наприклад в автогенераторі. В підсилювачі потужності на біполярному транзисторі він може викликатися індуктивностями виводів та між електродними ємностями, а також ємністю одного із переходів.

Спадаюча ділянка в вольт-амперній характеристиці діода може створюватися спеціально (тунельний діод), але бувають випадки, коли вона виникає поза нашого бажання, наприклад, при напругах переважаючих гранично допустимі значення.

Уявлення про причини нестійкості допомагає цілеспрямовано впливати на їх. Крім того, наявна відсутність перелічених факторів може бути основою для відмови від аналізу стійкості.

3. Елементи теорії лінійних диференційних рівнянь із періодичними коефіцієнтами

Вище було показано, що поведінка малих відхилень від періодичного режиму визначається диференційними рівняннями з періодичними коефіцієнтами, які називаються рівняннями першого приближення. Стосовно до періодичного режиму за допомогою (4) отримаємо

. (6)

Тут, на відміну від рівняння (5), і - періодично змінювані провідність і ємність. Період зміни цих елементів співпадає з періодом усталеного режиму в шуканій нелінійній схемі, позначимо його - період модуляції параметрів.

Рівнянню (6) відповідає еквівалентна схема для малих збурень (лініаризована схема). Вона виходить з шуканої усуванням зовнішнього джерела струму та заміною нелінійних елементів на елементи з періодично змінюваними параметрами.

Періодичний закон, за яким модулюються параметри, описується або функцією часу, або спектральними методами рядів Фур’є. Обидві форми визначаються періодичним режимом. Якщо який-небудь параметр нелінійної схеми, або зовнішнього впливу змінюється, то характеристики періодичного режиму теж змінюються, а це робить в (6) зміну функцій, модулюючих параметри.

Аналіз локальної стійкості періодичного режиму проводиться на основі двох теорем. Перша доведена А.М. Ляпуновим і відноситься до неавтономної схеми. Ствердження другої, доведено А.А. Андроновим і А.А. Виттом. Вона визначає стійкість автоколивань.

Теорема Ляпунова. Якщо всі характеристичні корені рівняння першого зближення за модулем менше одиниці, то періодичний режим в нелінійній неавтономній схемі асимптотично стійкий; якщо є хоч один характеристичний корінь, за модулем більший одиниці, то періодичний режим нестійкий.

Теорема Андронова-Витта. Якщо серед характеристичних коренів рівняння першого зближення автономної схеми є хоч один звичайний, за модулем рівним одиниці, то періодичний процес стійкий за Ляпуновим (асимптотичний орбітально стійкий); якщо хоч один характеристичний корінь, за модулем більший одиниці, то періодичний процес нестійкий.

Роз’яснимо асимптотичну орбітальну стійкість періодичного режиму. Будемо уявляти періодичний режим в нелінійний схемі рухом зображуючої точки по замкнутій кривій. Під дією флуктуацій виникає збурений рух, який визначається переміщенням другої зображаючої точки. Очевидно, що після дії флуктуацій обидві зображені точки будуть знаходитись неподалік одна від одної. Припустимо, періодичний процес стійкий та траєкторії збуреного та незбуреного руху протягом певного часу з’єднуються. В цьому випадку для зображаючих точок можливі два варіанти: обидві точки при з’єднанні траєкторій зливаються або з’єднання траєкторій не супроводжується збігом обох точок. Перша ситуація характеризує асимптотично стійкий періодичний процес, друга – асимптотичний орбітально стійкий (або стійкий за Ляпуновим).

Щоб зрозуміти, що таке характеристичні корені лінійних диференційних рівнянь із періодичними коефіцієнтами, розглянемо основні положення теорії таких рівнянь.

Для спрощення припустимо, що порядок рівняння (6) дорівнює трьом. Тоді його можна привести до виду

,

де точки означають диференціювання в часі, коефіцієнти - періодичні функції з періодом , .

Усяке конкретне рішення записаного рівняння відповідає конкретним початковим умовам, які можна задати вектором . Якщо взяти три лінійно незалежних початкових вектора, то вони визначають три лінійно незалежних рішення. Прийнявши останнє за стовпці, сформуємо фундаментальну матрицю рішень. За допомогою цієї матриці можна виразити усяке рішення (6), відповідаючє довільним початковим умовам.

Серед фундаментальних матриць відокремимо таку, котра в початковий момент часа виявляється одиничною. Іншими словами, розглянемо фундаментальну матрицю , складену з рішень, для котрих початкові умови складають стовпці одиничної матриці. Якщо в цій фундаментальній матриці покласти , то отримаємо характеристичну матрицю . Її власні числа і є характеристичні корені рівняння (6). Отже, характеристичний поліном при можна записати у вигляді

,

де - одинична матриця.

Кожному простому одиничному кореню відповідає рішення , маюче властивість

. (7)

Вказана властивість породила ще одну назву характеристичних корнів – мультіплікатори (помножувачи). Послідовне використання цієї властивості відносно рішення дозволяє записати

.

Тобто, при рішення зменшується, а при зворотній нерівності зростає. Тепер стає зрозумілим зміст теорем про стійкість періодичного режиму.

Рішення, для якого вірно (7), можна переписати в такій формі:

, (8)

де - характеристичний показник,

- обмежена періодична функція.

Теореми Ляпунова та Андронова-Витта можна сформулювати інакше, вводячи характеристичні показники замість характеристичних коренів. Тепер стійкість має місце при .

За допомогою (6) можна отримати рівняння для характеристичних показників. Попередньо (6) треба записати у вигляді

(9)

В (9) позначено: ; , - середнє значення функцій , за період модуляції; , - періодичні функції з нульовим середнім.

Щоб знайти потрібне рівняння, підставимо в (9)

, ,

.

Нагадаємо, в рядах Фур’є для і члени при дорівнюють нулю.

Після елементарних перетворювань маємо

.

Покладемо . Тоді

.

Складена лінійна комбінація лінійно незалежних функцій може дорівнювати нулю тільки при перетворенні в нуль кожного співмножника, взятого в фігурні дужки:

, (10)