Беселеві функції

Курсова робота

"Беселеві функції"

1. Беселеві функції з будь-яким індексом

Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:

. (1)

Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:

, , ,

те рівняння (1) прикмет наступний вид:

. (2)

:

,

Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:

,

звідки (після ділення на )

.

Записавши це у вигляді:

,

знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від , ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:

; ;

; ;

.

В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:

, ;

, .

Таким чином, , , повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:

,

(3)

, ,

з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.

Обернено, якщо , , задовольняють рівнянням (3), тобто рішення рівняння (2). Справді, підставляючи в ліву частину (2) і ділячи потім на , одержимо:

.

Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де , , – будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел , .

Перше з рівнянь (3) у випадку , називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку , позначаючи незалежну змінну буквою (замість ), а невідому функцію – буквою (замість ), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:

. (4)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.

Беселеві функції першого роду

Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:

.

Тоді

,

,

,

.

Отже, приходимо до вимоги

або до нескінченної системи рівнянь

,

яка розпадається на дві системи:

Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі можна взяти довільно; тоді … однозначно визначаються (якщо не є цілим негативним числом). Взявши

,

знайдемо послідовно:

,

,

,

і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:

Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області (у випадку цілого в області ).

Функція

(5)

називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу одержимо:

, (5`)

і, зокрема,

. (5``)

Загальне рішення рівняння Беселя

У випадку нецілого індексу функції і є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені . Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:

. (6)

Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що дорівнює нулю для …), приймає вид:

(5```)

або, після заміни індексу підсумовування на ,

, (7)

звідки видно, що задовольняє разом з рівнянню Беселя

.

Але формула (6) у випадку цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи

( – не ціле) (8)

і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:

, (8`)

одержимо функцію , що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від (у випадку , де – ціле). Функція називається беселевою функцією другого роду з індексом . Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:

. (9)

2. Формули приведення для Беселевих функцій

Маємо:

; ;

, ;

.

Отже,

. (10)

Таким чином, операція (що складається в диференціюванні з наступним множенням на ), застосована до , підвищує в цьому вираженні індекс на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію раз, де – будь-яке натуральне число, одержуємо:

. (10`)

Маємо:

;

Отже,

. (11)

Таким чином, операція , застосована до , знижує в цьому вираженні індекс на одиницю. Застосовуючи цю операцію раз, одержуємо:

. (11`)

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

; ; .

Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:

; ; .

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

, (12)

. (13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через , . Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи ):

, (13`)

звідки послідовно одержуємо:

,

, …………………

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де – ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

,

,

отже,

.

Але , значить:

. (14)

Далі

,

,

отже,

.

Але , тому

. (15)

За допомогою (10') знаходимо:

,

а з огляду на (14)

,

отже, при цілому позитивному

. (14`)

За допомогою (11') знаходимо:

,

але в силу (15)

,

і, отже, при цілому позитивному

. (15`)

4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом

Виробляюча функція системи функцій

Розглянемо систему функцій (з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

Складемо ряд

,

де – комплексна змінна. Припустимо, що при кожному (приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність . Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.

Функція

(16)

(де x лежить в області визначення функцій системи , – усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню ) називається виробляючою функцією системи .

Обернено, нехай задана функція , де пробігає деяку множину, перебуває усередині деякого кільця, що залежить від , із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо при кожному аналітичне відносно усередині відповідного кільця, тобто виробляюча функція деякої системи функцій. Справді, розклавши при кожному функцію в ряд Лорана по ступенях :

,

знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою .

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності в простий інтеграл, одержимо:

. (17)

Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами

Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами (…) виробляюча функція