Беселеві функції

є:

.

Маємо:

, ,

звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:

(тому що в передостанній внутрішній сумі й були зв'язані залежністю , то ми могли покласти , одержавши підсумовування по одному індексі ). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих , для яких , отже, при це буде ; при це буде . Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є в силу формул (5`) і (5```). Отже,

, (18)

але це й доводить, що є виробляюча функція для системи .

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:

,

звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )

(18`)

(18``)

Заміняючи в (18`) і (18``) на , знайдемо:

, (18```)

. (18````)

Інтегральне подання Jn(x)

Тому що, по доведеному, при маємо , те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

де прийнято в увагу, що є парна функція від є непарна функція від . Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа

. (19)

Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для , права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при знайдемо:

. (19`)

5. Ряди Фур'є-Беселя

Розглянемо на якому-небудь інтервалі (кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння

, , (20)

де й – безперервні функції на . Нехай і – ненульові рішення цих рівнянь. Множення на й на й наступне вирахування дають

.

Нехай і належать і , тоді після інтегрування в межах від до одержимо

. (21)

Якщо й – сусідні нулі рішення , то між і зберігає постійний знак, нехай, наприклад, на (, ) (у противному випадку варто замінити на ), тоді , (рівність нулю виключено, тому що – ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на , то повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між і , тому що інакше збереже постійний знак на (,). Нехай, наприклад, на (,) (у противному випадку заміняємо на ), і тоді з (21) одержимо протиріччя, тому що ліва частина ≤0, а права >0. У такий спосіб доведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)<Q(x) на розглянутому інтервалі I і якщо y і z – ненульові рішення рівнянь (20), те між кожними двома сусідніми нулями y(x) перебуває принаймні один нуль z(x).

З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені наслідки. Якщо на , то кожне ненульове рішення рівняння може мати на не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти й взяти ). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти , взяти й помітити, що нулями будуть тільки числа виду , ціле). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти й взяти ). Із сказаного випливає, що якщо на , те для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо .

Викладене показує, що якщо безперервно на й перевищує деяке позитивне число поблизу +∞, те кожне ненульове рішення рівняння має на нескінченно багато нулів. Якщо ще поблизу не звертається в нуль, то ці нулі утворять нескінченну зростаючу послідовність , що має межею +∞, а якщо, крім того, , де , те .

Розглянемо рівняння Беселя

на інтервалі . Підстановка приводить до рівняння

.

Очевидно, і мають ті самі нулі. Тому що , де – ціла функція, то не має нулів на при досить малому , і тому що при , те при кожному нулі на утворять нескінченну зростаючу послідовність

причому .

Якщо , то задовольнить рівнянню

на інтервалі (0, +∞). Підстановка приводить до рівняння

і, отже, задовольняє цьому рівнянню. Таким чином, при будь-яких позитивних і маємо

, де ,

, де ,

звідки

,

отже,

, де . (22)

Нехай тепер . Розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , тому що коефіцієнт при дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при одержимо

,

тобто

, (23)

звідки видно, що якщо і є різними нулями функції , те

. (23`)

Цим доведено, що при система функцій

на інтервалі є ортогональної щодо ваги .

Переходячи до межі при в співвідношенні

і використовуючи правило Лопиталя, одержимо при всякому

, (24)

отже, якщо є нулем функції , те

. (24`)

Таким чином, при кожному всякій безперервній функції на , що задовольняє вимозі

,

поставлений у відповідність ряд Фур'є-Беселя

, (25)

коефіцієнти якого визначаються формулами

. (25`)

Можна довести, що система функцій на , ортогональна щодо ваги , замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Беселя (25) рівномірно сходиться до його безперервної функції, що породжує.

Можна показати, що якщо й безперервна на