Беселеві функції

функції" width="32" height="24" align="BOTTOM" border="0" /> й функція, то ряд Фур'є-Беселя цієї функції сходиться до неї при

6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу

Нехай – позитивна функція й – яка-небудь функція для досить більших значень . Запис

при

означає, що найдуться такі числа й M, що при маємо .

Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо – позитивна функція й – яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень , то запис

при

означає, що найдуться такі числа й , що на .

Допоміжна лема

Якщо двічі безупинно диференцюєма на , то для функції

має місце асимптотичне подання

при .

Доведемо цю лему. Заміняючи на , одержимо:

.(26)

Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи на , знайдемо:

але, замінивши на , одержимо:

Якщо позитивно, убуває й прагнути до нуля при , то й , а отже, і є при , тому

при ,

звідки

при .

Отже, одержуємо асимптотичне подання:

при . (27)

Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:

Очевидно, двічі безупинно на , але існують і , тому стає безупинно диференцуєма на . Інтегрування вроздріб дає:

де перший доданок правої частини є при , а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі

який сходиться, тому що

при ;

отже, другий доданок є теж при .

Отже, маємо:

при . (28)

З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання:

при . (29)

Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще:

при . (29')

Формули (29) і (29`) вірні й для функцій .

Висновок асимптотичної формули для Jn(x)

Заміняючи на , одержимо:

(з огляду на, що є парна функція від , а є непарна функція від ). Підстановка дає:

де є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що є поліном n-й ступеня відносно . Але

і, заміняючи в першому із цих інтегралів на , одержимо:

Тому що й на мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:

;

але ; , отже,

Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу:

при . (30)

Ця формула показує, що з точністю складається до порядку, що, є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.