Разработка демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики
(1.3.8)B= 7mm 40 0H 70 0 │ 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2
79 0 7 0
76 0 7 6
76 ч 0H 76 0 76 ч 0E
rotE=- 7mm 40── 0 (1.3.9); rotH= 7s 0E+ 7ee 40── 0 (1.3.10);
7ч 0t 7 0 7 ч 0t
7ч
Из симметрии задачи видно , что ──=0 , тогда получим:
7чf
7ч 0E 7f ч 0H 4r 7 0 │ 7 ч 0H 7f 4 7 ч 0E 4r
- ─── =- 7mm 40 0─── (1.3.11) │ - ───= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0─── (1.3.12)
7ч 0z 7 ч 0t 7 0 │ 7 ч 0z 7 4 7 ч 0t
│
7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 │ 7 ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f
─── - ───=- 7mm 40 0─── (1.2.13) │ ─── - ───= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0───(1.3.14)
7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t │ 7 ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t
│
1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 0 │ 7 01 7ч 0(rH 7f 0) 7 0 7ч 0E 4z
- ──────=- 7mm 40 0─── (1.3.15) │ - ──────= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0─── (1.3.16)
r 7ч 0r 7ч 0t │ 7 0r 7ч 0r 7 0 7ч 0t
Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:
ш1.0
1 7 ч 0(rH 7f 0) 7 ч 0E 4z 0 7) 0 │ 1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 7 )
- ──────= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0─── (а) 72 0 │ - ──────=- 7mm 40 0─── 7 2
r 7 0 7ч 0r 7 ч 0t 72 0 │ r 7ч 0r 7ч 0t 7 2
72 0 │ 7 2
7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 72 0 │ 7ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f 2
─── - ───=- 7mm 40 0─── (б) 78 0(1)│ ─── - ───= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0─── 7 8 0(2)
7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t 72 0 │ 7ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t 7 2
72 0 │ 7 2
7чHf 0 7 4 7ч 0Er 72 0 │ 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4r 7 2
- ───= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0─── (в) 72 0 │ - ─── =- 7mm 40 0─── 7 2
7ч 0z 7 0 7 4 7ч 0t 70 0 │ 7ч 0z 7 ч 0t 7 0
│
С компонентами E 4z 0,H 7f 0,E 4r 0 эта сис-│С компонентами H 4z 0,E 7f 0,H 4r 0 эта сис-
тема описывает скин-эффект. │тема описывает вихревые токи.
ш2.0
Будем рассматривать только первую систему, описывающую скин-
эффект.
Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле перио-
дически меняется во времени, то оно будет периодически меняться и
во всех остальных точках проводника. При отыскании периодических
решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобно пользовать-
ся комплексной показательной функцией, а затем с помощью извест-
- 20 -
ной формулы Эйлера:
ш1.0
4i 7ф
e 4 = 0cos 7a 0+isin 7a 0; (1.3.17)
ш2.0
перейти к вещественной форме решения.
Кроме того отметим, что уравнения в системе (1) линейны и од-
нородны и следовательно для них выполняется принцип суперпозиции:
сумма произвольного числа решений уравнения сама является решени-
ем того же уравнения.
Ищем решение системы (1) в виде:
ш1.0
i 7w 0t 7 ч )
E 4z 0=E 4z 0(r)e ──=i 7w 2
i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 2 0 (1.3.18)
H 7f 0=H 7f 0(r)e 7 ┌ ч 2
i 7w 0t => ──=-ik 4z 7 2
E 4r 0=E 4r 0(r)e 7 ч 0z 7 0
Положим k 4z 0=0 так , как мы ищем колебательное решения , а не
волновое. Кроме того считаем , что 7 s > e 40 7ew 0 поэтому 7 e 0=0.
Тогда:
│
ik 4z 0H 7f 0= 7s 0E 4r 0 => E 4r 0=0 (1.3.19) │
│
│ 7s 0 7 ч 0E 4z
7ч 0E 4z 7я 0 │ H 7f 0 = ──────── ───── (1.3.22)
───── = i 7mm 40 7w 0H 7f 0 (1.3.20) │ i 7mm 40 7ws 0 7ч 0r
7ч 0r │
│
7ч 0H 7f 0 1 │
─── + ─ H 7f 0 = 7 s 0E 4z 0 (1.2.21) │
7ч 0r r
7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
──── + ─ ─── 4 0- i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.23)
7ч 0r 52 0 r 7ч 0r
Рассмотрим 2 возможных случая:
1) _Снаружи проводника . ( 7s 0=0)
- 21 -
ш1.0
┌ ┐
7ч 52 0E 4z 0 7 01 7 ч 0E 4z 0 1 7 ч 0 │ 7ч 0E 4z 0 │ 7 ч 0E 4z
──── + ─ ─── = 0 => ─ ──│ r─── │ = 0 => r─── = const 41
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r r 7 ч 0r│ 7 0 7ч 0r │ 7 ч 0r