Разработка демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики
└ ┘7ч 0E 4z 0 const 41 7 ! 0 const 41
─── 4 0= ────── => E 4z 0= 72 0 ────── dr (1.3.24)
7ч 0r 7к 0 r 7 1 0 r
E 4z 0=const 41 0ln(r)+const 42 0 (1.3.25)
ш2.0
Т.к. при r 76$ 0 поле не может бесконечно возрастать => const 41 0=0,
следовательно E=const 42 0 т.е. не зависит от пространственных коор-
динат вокруг проводника.
2) _ Внутри проводника
7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
──── + ─ ─── 4 0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.26)
7ч 0r 52 0 r 7ч 0r
Очевидны граничные условия:
ш1.0
I
E 4z 0│ =E 4z 0│ и H 7f 0│ =H 7f 0│ = ───
│r=R │r=R │r=R │r=R 2 7p 0R (1.3.27)
Таким образом мы получили уравнение:
7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z
──── + ─ ─── 4 0+ k 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.28)
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r
где k 52 0=-i 7mm 40 7ws
7ы 0 ┌ 1 ┐ 7ч 0E 4z
H 7f 0=│ ───── │ ─── (1.3.29)
└ i 7mm 40 7w 0 ┘ 7ч 0r
ш2.0
Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого
записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана ( или
- 22 -
ш2.0
Вебера )[8,18]:
E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr)+BN 40 0(k 41 0r) (1.3.30)
Однако N 40 0(x) 76$ 0при x 76 00 , поэтому мы вынуждены отбросить это
решение и окончательно записать:
E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr) (1.3.31)
Или общее решение:
ш1.0
i 7w 0t
E(r,z,t)=AJ(kr)e (1.3.32)
7| 0 1-i 7|\\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|\\
т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5 ──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
7| | |
7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02
ш2.0
7d 0 - глубина проникновения.
Как известно , расчет значений функции Бесселя комплексного
аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную
задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной сте-
пенью наглядности.
Вместе с тем хорошо известно , что уравнение вида:
ш1.0
7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z
──── + ─ ─── 4 0- i 7l 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.33)
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r
7l 52 0= 7mm 40 7ws 0 ; 7 l 0=1/ 7d
ш2.0
имеет решение в виде комбинации функций Кельвина:
- 23 -
ш2.0
E 4z 0=A[ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)]+B[ker 40 0( 7l 0r)+kei 40 0( 7l 0r)] (1.3.34)
Причем функции ker 40 0( 7l 0r) и kei 40 0( 7l 0r) мы должны отбросить по тем
же соображениям , что и функции Неймана в предыдущем решении.
Это же легко подтвердить из следующих соображений:
ш0.9
7| 0 -i 7p 0/4
(1-i)/ 7? 02 7 0=e (1.3.35)
Тогда согласно [8] получим:
-i 7p 0/4
ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)=I 40 0( 7l 0re ) (1.3.36)
ш2.0
Очевидно , что : ber 40 0( 7l 0r)=Re{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.37)
bei 40 0( 7l 0r)=Jm{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.38)
Очевидно , что общее решение будет иметь вид :
ш0.8
i 7w 0t
E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}e (1.3.39)
ш1.0
Преобразуем последнее выражение :
E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}{cos( 7w 0t-k 4z 0z)+isin( 7w 0t)}=
┌ ┐
=A│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)-ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│+
└ ┘
┌ ┐
+i│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)+ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│=
└ ┘
┌ 7 |\\\\\
=A│((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 7 0cos( 7w 0t+ 7f 0)+
└
7|\\\\\ 0 ┐
+i((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0 sin( 7w 0t+ 7f 0)│; (1.3.40)
┘
bei 40 0(r/ 7d 0)
где tg 7f 0=───────────
ber 40 0(r/ 7d 0)
7|\\\\\
E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0{cos( 7w 0t+ 7f 0)+isin( 7w 0t+ 7f 0)} (1.3.41)
- 24 -
ш2.0
Далее необходимо перейти к вещественной форме решения , так
как только такие решения имеют физический смысл. Как было показа-
но выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным
решениям.
ш1.0
7|\\\\\
E 4z1 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.42)