Метод векторів та його застосування
що й операція додавання чисел. Тому часто при перетворенні сум векторів діємо так само, як і при перетворенні числових виразів: (
+
)+
=+(+)=(+)+=(+).
Сума
більшої кількості векторів знаходиться за правилом многокутника.
Щоб знайти суму n векторів 
(мал. 9), потрібно з
довільної точки O відкласти вектор 
=
, з його кінця – вектор 
=
,…,
=
(початок кожного
наступного вектора-доданка є кінцем попереднього). Вектор =
буде сумою даних векторів.
Віднімання векторів
Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додавання.
Означення. Різницею векторів і називається такий вектор 
, який в сумі з вектором дає вектор : -=якщо +=. /1/
Доведемо, що вектор існує і притому
єдиний. Припустимо, що вектор існує. Тоді, додавши до обох
частин рівності вектор (-) і користуючись властивостями
суми векторів, маємо: (-)++=(-)+. /2/
Отже,
якщо вектор існує, то він визначається попередньою рівністю /2/, а тому єдиний. Дійсно,
підставивши /2/ в /1/, одержимо правильну
рівність: ++(-)=.
Отже,
вектор, який визначається формулою /2/, є різницею векторів і : -=+(-)=. За правилом трикутника 
+
=
. Звідси
=- (мал. 10).
Отже,
для побудови різниці векторів і досить відкласти
ці вектори від спільного початку (=,=) і провести вектор від кінця B
вектора-від’ємника до кінця C вектора-зменшуваного;
цей вектор і є шуканою різницею -: =-.
Множення вектора на число
Означення.
Добутком вектора на дійсне число α називається
вектор 
, який задовольняє такі умови:
1) 
=
*
;
2) 
, якщо α
>0, і 
, якщо α <0.
Такий
вектор позначається = α .
Операція добутку вектора на число має такі властивості.
Властивість
1.
α*
=0*= для будь-якого дійсного
числа α і будь-якого вектора . Ця властивість випливає
з умови 1) означення.
Властивість
2.
Для будь-якого вектора 1*=; -1*=-. Ця властивість
випливає безпосередньо з означення.
Властивість
3.
Для будь-якого вектора і будь-яких дійсних чисел α і β:
α(β)=(αβ) .
Доведення. Нехай
α(β)=, (αβ) =
. Доведемо, що =. Маємо:
=*
=*
*,
=
*=**.
Отже,
=. Покажемо, що .
Якщо α і β одного знаку, то вектор однаково
напрямлений з і однаково напрямлений з .Отже, .
У випадку коли числа α і β протилежних знаків, , . Отже, також ,
що й треба було довести.
Властивість
4.
Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів,
тобто α(+)=α+α, для 
, і α 
R.
Доведення. Нехай α > 0. Відкладемо
вектори =, =, 
=α, 
=α (мал. 11). Тоді +=
, α+α=
. Покажемо, що =α. Оскільки вектори і α , і α відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути
A і 
у трикутників OAB і 
рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних
прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних
кутів, пропорційні: 
. Тому 
OAB ~ . Звідси випливає, що OAB=, а це означає, що промені OB і 
збігаються, тобто . Крім того 
=α*
=*. Тому =α*.
Аналогічно розглядається випадок, коли α <0 (мал. 12).
Випадок
α = 0 тривіальний. Отже, α (+) = α+α.
Властивість
5.
Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел,
тобто (α+β)=α+β, і α, β R.
Доведення. Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів).
1.
Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори
(α+β) і α+β однаково
напрямлені. Крім того,
;
.
Отже,
і вектори (α+β) та α+β рівні.
2.
Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β,
то (α+β)=(-β+β)=0=0; α+β= -β+ β=0, отже, властивість
справджується.
Якщо
α
-β, тоді –α, α+β або
–β, α+β одного знаку. Нехай, наприклад, -α, α+β
одного знаку. Тоді за доведеним (-α)+ (α+β)=(-α+α+β)=β
(α+β)= α+β, що і треба було довести.
2. Колінеарність векторів
Означення. Два ненульових вектори і називається колінеарними,
якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній
прямій.
Позначення: ||(мал. 13).
Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.
Теорема. (перша ознака
колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки
тоді, коли існує деяке число α таке, що =α. /1/
Доведення.
1.
Необхідність. Нехай ||. Тоді або , або . Якщо , то =
, оскільки ці
вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі: 
==
. Позначивши α =, дістанемо =α. Якщо , то аналогічно
доводиться, що = -. Нехай α =
-, тоді також =
α.
2.
Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді і або однаково, або протилежно напрямлені, а отже,
вони колінеарні. Теорему доведено.
Зауваження
1. Якщо = 0, 0, то теорема також справджується. У цьому
випадку α =0.
Зауваження
2. Оскільки для колінеарних векторів і завжди існує тільки одне число α таке, що = α , то звідси
формально можна написати: α =
, тобто можна розглядати відношення
двох колінеарних векторів.
Відношення
: двох колінеарних
векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням
двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі
знаком «плюс», якщо