Метод векторів та його застосування

вектори  і  однаково напрямлені, і зі знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.

3. Компланарність векторів

 

Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними

якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.

Очевидно, що коли компланарні вектори ,, відкласти від довільної точки O (=, =,=), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).

Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.

Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.

Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори ,, компланарні, а вектори , неколінеарні, то існують єдині числа α, β такі, що: = α + β. /2/

Інакше кажучи, вектор  можна розкласти за векторами  і  і до того ж єдиним способом.

Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α і β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =, =. Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори  і  неколінеарні, тому O, A, B не лежать на одній прямій.

Можливі два випадки:

1.                 Точка С належить прямій ОВ (мал. 15a). Тоді вектори  і  колінеарні і, отже, за попередньою теоремою, = β, де β – деяке число. Отже,  =0*+ β, тобто має місце розклад /2/.

2.                 С  (ОВ). Проведемо || OB (мал. 15b). Тоді за правилом трикутника =+. Але ця рівність можлива тільки тоді, коли α =, β =. Дійсно, якби, наприклад, α , то було б, ||, що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектора  за векторами  і . Теорему доведено.

Теорема 2. (про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори , ,  некомпланарні, то для будь-якого вектора , існують і притому єдині числа α, β, γ такі, що = α+β+γ .

Лінійна залежність векторів

 

Означення. Система векторів  називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , ,…, серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що ++ … += 0. / 4/

Якщо ж рівність /4/ справджується тільки при ==…== 0, то дана система векторів називається лінійно незалежною.

Сума ++ … + називається лінійною комбінацією векторів .

Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні надалі.

Властивість 1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів  лінійно залежна. Тоді існують такі числа , ,…, , що ++ … += 0 /5/

При цьому принаймні одне з чисел , ,…,  не дорівнює нулю. Нехай, наприклад, 0. Тоді з рівності /5/ дістанемо:

= –  –  –  –  – .

Отже, вектор  є лінійною комбінацією векторів , ,…, ,…, .

3.                     Достатність. Нехай у даній системі векторів вектор  є лінійною комбінацією інших векторів:

=++ … +++ … +.

Цю рівність можна записати так:

++ … + + (-1) ++ … += 0.

У цій рівності коефіцієнт біля  відмінний від нуля, тому дана система векторів лінійно залежна.

Властивість 2. Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.

Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна.

Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною.

Властивість 4. Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора.

Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор: , , то

виконується рівність 1* + 0* +… + 0* =0. 10, тому така система є лінійно залежною, а, отже, система лінійно незалежних векторів не може містити нульового вектора.

Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежності тісно пов'язане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справедливі такі теореми.

Теорема 1. Два вектори  і  лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів ,  лінійно залежна. Тоді за
властивістю 1 один із векторів лінійно виражається через другий:  = α,
звідки випливає, що вектори  і  колінеарні.

2. Достатність. Нехай вектори  і  колінеарні. Тоді існує таке число α, що = α . Із властивості 1 випливає, що вектори  і  лінійно залежні. Теорему доведено.

Теорема 2. Система трьох векторів , ,  лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів , ,  лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів є лінійною комбінацією інших векторів. Нехай, наприклад, = α+β. Із означення суми векторів випливає, що вектори , α, β компланарні, а тоді і вектори , ,  будуть компланарними, бо || α, || β.

2. Достатність. Нехай вектори , ,  компланарні. Якщо ||, то за попередньою теоремою вектори ,  лінійно залежні, а за властивістю 2 лінійно залежними будуть і вектори , , . Якщо ж  не ||, то за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами = α+β. То за властивістю 1 система векторів , ,  лінійно залежна. Теорему доведено

4. Координати вектора

Нехай (, , ) деякий базис простору ,  – довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують єдині числа , ,  такі, що

 =  +  + .

Коефіцієнти , ,  розкладу вектора за базисними векторами називаються координатами вектора в даному базисі. При цьому число  називається першою координатою, число  – другою, а число  – третьою.

Якщо вектор  в даному базисі має координати ,, , то скорочено це записують так: (, , ) або .

Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори , ,  і  від деякої точки О простору (мал. 16): =, =, =, =.

Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих , , , а діагоналлю є відрізок OA. Тоді  =