Метод векторів та його застосування

/>+ + , де = , = =,  = .

Тому  = ;

 > 0, якщо  і < 0, якщо ;

 = ;

 > 0, якщо  і < 0, якщо .

Аналогічно,  = ;

 > 0, якщо  і  < 0, .

Отже, координата  з точністю до знака дорівнює довжині відрізка  виміряному в одиницях довжини . Знак же координати  залежить від напрямку векторів  і :  > 0, якщо  і < 0, якщо . Аналогічно зміст двох інших координат  і .

Базисні вектори в самому базисі мають координати (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).

Аналогічно визначаються координати вектора в просторі . Базис цього підпростору складається з двох не колінеарних векторів. Нехай система векторів ,  є базисом підпростору . Тоді за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами для будь-якого вектора  із підпростору  існують єдині числа ,  такі, що  =  + . Коефіцієнти ,  цього розкладу називаються координатами вектора  в базисі (,). Число  називається першою координатою, а число  – другою.

Аналогічним є і геометричний зміст координат вектора в підпросторі  (мал. 17):

 = +  =  + .

 = ,

 > 0, якщо  і < 0, якщо ;

 = ;

 > 0, якщо  і < 0, якщо .

Базисні вектори мають координати: (1; 0), (0; 1). Координати вектора в даному базисі повністю задають вектор.

Розглянемо властивості координат векторів.

Теорема (2-га ознака рівності векторів): для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх відповідні координати.

Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома не компланарними векторами.

Теорема: справедливі такі твердження:

1)                 координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів;

2)                 координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат цих векторів;

3)                 координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат цього вектора на дане число.

Доведення: доведемо наприклад перше твердження. Нехай у деякому базисі (,,), (, , ), (, , ). Тоді за означенням координат вектора

 = +  + ,  = + + .

Отже,  +  = +  +  + + +  = (+ ) + ( + ) + ( +).

Звідси випливає, що координати вектора  +  відповідно дорівнюють + +,  + ,  + , що й треба було довести.

Аналогічно доводяться й інші властивості.

Теорема (2-га ознака колінеарності двох векторів): для того, щоб два вектори (, , ), (, , ) задані в деякому базисі (,,), були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.

Доведення: якщо  = , то твердження очевидне. Припустимо, що .

1. Необхідність. Нехай  || . Тоді існує таке число λ, що  = λ, звідки випиває, що  = λ,  = λ,  = λ;

= λ.

Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.

2. Достатність. Нехай = λ, тоді  = λ,  = λ,  = λ. Помноживши ці рівності на вектори , ,  відповідно, дістанемо = λ,  = λ,  = λ. Додавши ці рівності дістанемо +  +  = λ + λ + λ або  +  +  = λ( +  + ), тобто  = λ || . Теорему доведено.

5. Тривимірний векторний простір і його підпростори

Побудована нами не порожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють зазначені властивості, а саме:

 ,: +  =  + ;

, , :( +) +  =  + ( + );

, :  +  =  +  = ;

   (-): + (-) = ;

 : 1* = ;

α, β  R, : α(β) = (αβ);

    α, β  R, : (α + β) = α + β;

     

 α  R, , : α( + ) = α + α – називається векторним простором. Позначимо його .

У векторних просторах розглядається поняття базису векторного простору і