Метод векторів та його застосування

розмірності. Введемо означення цих понять.

Означення: базисом векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку і задовольняє умови:

1)                ця система векторів лінійно незалежна;

2)                будь-який інший вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору.

Означення: розмірністю векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів.

З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору є будь-яка система трьох не компланарних векторів, взятих у певному порядку. Справді, система будь-яких трьох некомланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Тому розмірність даного простору  дорівнює трьом. У зв’язку з цим побудований нами векторний простір називається тривимірним векторним простором.

Означення: нехай L – непорожня множина векторів із векторного простору . Множина L називається векторним підпростором простору , якщо виконуються такі умови:

1)                якщо  L,  L, то  +   L;

2)                якщо  L, то і α L α  R.

Тобто підмножина L простору  буде векторним підпростором простору , якщо вона сама є векторним простором.

6. Скалярний добуток векторів

 

Нехай ,  − ненульові вектори. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =. Кутом між векторами  і  називається кут між променями OA і OB (мал. 18). Позначають: (,) = φ. Для будь-яких векторів  і  маємо 0 ≤ (,) ≤ π.

Означення: скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними:   =cos(,).

Теорема: скалярний добуток векторів (, , ), (, , ), заданих в ортонормованому базисі, обчислюються за формулою:

 =  +  + . /6/

 

Доведення. Якщо один із векторів або обидва нульові, то формула очевидна. Припустимо, що ,  і розглянемо два випадки.

1. Вектори  і  не колінеарні. Відкладемо вектори  = ,  = (мал. 19). Нехай (, ) = φ.

З OAB за теоремою косинусів  – 2 OAOBcosφ, або ,

звідки

=. Отже,  =  + + .

2. Вектори  і  колінеарні. Тоді  = λ,  = λ,  = λ,  = λ;

= λ = cos(λ, ) = λ= λ() = λ + λ + λ =  +  +

Теорему доведено.

З теореми і означення випливають такі властивості скалярного добутку векторів:

1. = 0 тоді і тільки тоді, коли , якщо , .

2. = = = .

3.  = .

4. (α )  = α(),α  R;

5. ( + ) =   +  .

Формула, аналогічна до формули /6/, має місце і в просторі . Справді, нехай в ортонормованому базисі простору  задано вектори (, ), (, ). Тоді, користуючись властивостями 1–5, дістанемо:  = ( + )( + )=    + ( + ) +  =  + . Отже,  =  +  /7/

З означення скалярного добутку і /6/, /7/ випливають такі формули для обчислення косинуса кута між векторами:

– у просторі :

cos(, ) = ;

– в просторі :

cos(, ) = .

Векторна алгебра може ефективно використовуватися для розв’язування задач елементарної геометрії.

Практична частина

 

Задача 1. Довести, що коли точка D ділить відрізок AB у відношеннях m: n, а C – довільна точка площини, то  /*/.

 

Доведення: Введемо позначення:

AD: DB = m: n;  = ;  = .

 ||  = , але  =  – ,

 =  – , тому  –  =  – .

Звідси (1 + ) =  + , і остаточно  =  + , що і треба було довести.

Задача 2. Якщо точки M і N належать відрізкам AB і CD, та AM: MB = CN: ND = m: n, то виконується рівність  =  + .

Доведення: за умовою та за формулою, що була доведена в задачі 1, маємо: =+=(+)+(+)=  +  +(m+n). Вираз m+n= , отже ми довели, що і треба було довести.

Задача 3. У трикутнику ABC точка O – центр описаного кола, H – точка перетину його висот. Довести, що .

Доведення: за умовою  (за означенням скалярного добутку). Проте, , , тому ()()=0 /1/. Крім того, ()()=0 /2/ (як радіуси описаного кола). Віднімаючи /2/ від /1/, матимемо ()( – ) = 0. Аналогічно з умов = 0 і , маємо ()( – ) = 0. Оскільки  і , то вектор, перпендикулярний до кожного з них, може бути тільки нульовим, тобто  – = 0. Звідси , що і треба було довести.

Задача 4. В коло вписано чотирикутник ABCD, перетинаються в точці M. Через середину S сторони CD проведено пряму SM так, що