Метод векторів та його застосування

(AB) (SM) = K. Довести, що AK: KB = : .

Доведення: позначимо AK: KB = x. Тоді за формулою /*/ (див. задачу 1) . Оскільки вектори  і  колінеарні, а точка S є серединою відрізка CD, то . Використавши рівність MA MC = MBMD = k дістанемо . Отже, , а

 . За теоремою про єдність розкладу вектора за двома не колінеарними векторами маємо

Звідси x = .

Задача 5. Дано три точки A, B, C і деяка точка O. Довести, що рівність  /#/ при AB є необхідною і достатньою умовою належності точок A, B, C одній прямій.

Доведення: Необхідність. Нехай точки A, B, C належать одній прямій, тоді . Ця рівність рівносильна такій .Звідси .

Достатність. Нехай . Тоді  або , тому  і  колінеарні, і, отже, A, B, C належать одній прямій.

Задача 6. Точка D належить стороні BC трикутника ABC. Довести, що .

Доведення: за формулою /#/ маємо . Оскільки

. Отже, , що і треба було довести.

Задача 7. Довести, що косинус кута між медіанами катетів рівнобедреного трикутника дорівнює .

Доведення: нехай задано рівнобедрений прямокутний трикутник OAB (OA = OB = a), точки M і N – відповідно середини OA і OB. Розмістимо цей трикутник в прямокутну систему координат так, щоб точка O збігалася з початком координат, а катети OA і OB лежали на відповідних осях координат x і y. Тоді в цій системі координат матимемо A (a; 0), B (0; a), M(; 0), N (0;). Вектори, які збігаються з медіанами, матимуть координати (-a; ) і (; a). Кут між медіанами – це кут між векторами  і , який знайдемо за формулою: cos(,), що й треба було довести.

Задача 8. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2: 1, рухаючи від вершин.

Доведення: нехай , ,  – медіани трикутника ABC;  і  перетинаються в точці O. Тоді  (бo || ) і  (бо ||). Звідси - = . Враховуючи єдність розкладу вектора за двома неколінеарними векторами  і , знаходимо, що k = -1, – p = 1. Отже, , то . За умовою , тому , або OC:  = 2: 1 і, отже, точки C, O,  належать одній прямій. З цього випливає, що медіана  також проходить через точку О і ділиться нею у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини, що й треба було довести.

Задача 9. Дано правильну чотирикутну піраміду SABCD. Чи є лінійно залежними вектори: а)  і ; б)  і ; в) ; г) ; д) ; е) ?

Розв’язання: вектори  і  неколінеарні, тому за теоремою про колінеарні вектори вони не є лінійно залежними.

 і  колінеарні, а тому лінійно залежні.

і  колінеарні, отже, лінійно залежні; за властивістю три вектори  також лінійно залежні.

Вектори  компланарні, тому за теоремою вони лінійно залежні.

 не є компланарними, за теоремою вони не є лінійно залежними.

 – три некомпланарні вектори. За теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами, вектор  є лінійною комбінацією цих векторів. За властивістю  лінійно залежні.

Задача 10. Обчислити кут між векторами  і , де  і  – одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

Розв’язання: формула косинуса кута: cos(,)=. Обчислимо ,,.

;

.

Тоді cos(,) = ; cos(,) = .

Відповідь: .

Задача 11. Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін.

Розв’язання: Нехай ABCD – даний паралелограм. Покладемо , (). За означенням суми і різниці векторів . Використовуючи властивості скалярного квадрату, отримаємо:  тобто .

Задача 12. З якою силою F треба утримувати вантаж вагою P на похилій площині, щоб він не скочувався вниз?

Розв’язання: нехай O – центр маси вантажу, до якого прикладено силу P. Розкладемо вектор  за двома взаємно перпендикулярними напрямами, як показано на малюнку. Сила  перпендикулярна до похилої площини і не викликає переміщення вантажу. Сила F, яка утримує вантаж, має дорівнювати за величиною і бути протилежною за напрямом силі OB. Тому F = P sinα.

 

Висновок

Таким чином в своїй курсовій роботі на тему «Метод векторів та його застосування» я подала короткі теоретичні відомості про поняття вектора, рівносильність векторів, додавання, віднімання та множення вектора на число, колінеарність, компланарність, лінійну залежність векторів, координати вектора, скалярний добуток векторів а також про векторний простір та його підпростори. А в практичній частині, на прикладах показала доцільність його застосування. Метод векторів широко застосовується в різних галузях науки (математиці, фізиці). Часто його застосування значно полегшує розв’язування деяких задач, а інших випадках задачу взагалі неможливо розв’язати іншим способом.

Література

1. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия, Ч.І. – М: Просвещение, 1974. – 351 с.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, Ч.І – М: Просвещение, 1986. – 336 с.

3. Атанасян Л.С. Геометрия, Ч.І – М: Просвещение, 1967. – 300 с.

4. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометри, Ч.І. – М: Просвещение, 1973. – 256 с.

5. Яковець, Боровик, Коваленко. Аналітична геометрія: навч. пос. – Суми: Університецька книга, 2004. – 295 с.

6. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии, М: Наука, 1970. – 335 с.

7. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометри, М: Наука, 1972. – 240 с.

8. Панішева О.В. Векторний метод: Інтегрований урок геометрії та фізики, Математика. – 2000. – №14. – с. 4 – 5.

9. Єгорова Г.О. Векторний і координатний методи розв’язування задач, Математика. – 2001. – №5. – с. 5 – 11.