Введение в физику скачков

находится в пределах земной коры. Соответствующие линейные размеры Li (i = ) могли бы характеризовать в этом случае земной блок в иерархии дискретных масштабов [4]. С благодарностью вспоминаю академика М. А. Садовского, обратившего мое внимание на эту задачу в связи с проблемой землетрясения и нашедшего в себе силы обсуждать ее решение перед своим уходом из этой жизни.

2.3. Превращения в потоке частиц: турбулентность.

Известно, что поток частиц может принимать качественно различающиеся состояния, начиная от малоподвижного (потенциального) и кончая потоком с крупномасштабной турбулентностью (хаотичностью движения частиц). Эти превращения характеризуются так называемыми критическими числами Рейнольдса:

Rej = u jr r/h = nj , j = 1,2,3,... ,

где u j, r , r, h — скорость, плотность, линейный размер и динамическая вязкость (динамическое трение) соответственно; nj — некоторое число. Числа Rеj (как и числа Фруда) — известные коэффициенты подобия — входят в состав соответствующих математических моделей в качестве безразмерных параметров управления [4]. Природа этих чисел и, следовательно, природа превращений в потоке частиц была неизвестна до настоящего времени. Покажем, что превращения в потоке частиц есть конкретное проявление закона сохранения и превращения энергии определенного вида. Для этого выделим первые критические числа j = , отыскивая соответствующие энергетические пороговые соотношения (3). Мы будем использовать известные законы динамического трения в строгом соответствии с определенными участками шкалы возрастающих чисел Re.

Переход от потенциального потока к сплошному Re1. Потенциальный поток, или “сухая вода” [5], — среда относительно неподвижных и независимых частиц, точнее частиц, совершающих колебания относительно некоторых центральных положений. В качестве основного состояния частицы рассматриваем состояние ее единства с локальной областью среды. Энергию Wо1 , характерную для такого состояния, определяем с использованием закона Стокса

F = 6p h ru

как абсолютную величину работы, затраченной на образование частицы в локальной области среды:

.

Собственную энергию возмущения частицы записываем как ее кинетическую энергию, определяя скорость u для ее свободного состояния:

.

В результате мы можем записать соотношение между энергиями W* и Wo1 в виде

Re = u r r/h 4,5 , u 1 = 4,5 h /(r r) , Re1 = 4,5.

Здесь параметры m, r , r, h , u относятся к частице, в частности r — ее радиус. В случае Re > Re1 частица теряет “жесткую” связь со средой; ее кинетическая энергия позволяет преодолеть предел текучести, характеризуемый энергией Wo1; поток переходит из состояния потенциального в состояние сплошного, напоминающего мед [5]. На этой фазе начинается подготовка к расслоению потока, а сама фаза есть катастрофа предыдущей.

Переход от сплошного потока к ламинарному Re2 . В качестве объекта рассматриваем некоторый слой потока с площадью соприкосновения A и линейным поперечным размером r. Основное состояние слоя — состояние его единства со сплошным потоком. Энергию такого состояния определяем как абсолютную величину работы, затраченной на образование слоя в поле квазиупругой силы [5]:

F = Ah u /r

и принимаем равной:

Началом отсчета для возникающего возмущения на этой фазе является скорость u 1 из-за катастрофы предыдущей связи. Поэтому собственная энергия возмущения слоя записывается в виде

Предельную скорость u 2 отыскиваем из равенства W*(u — u 1) = = Wo2 . В результате получаем:

u 2 = 7,18 h /r r ,Re2 = 7,18.

В момент, определяемый Re = Re2 , одновременно существуют целостный поток и независимый слой как часть этого потока. Для Re > Re2 начинается расслоение потока в виде скачкообразного выделения слоев с различающейся скоростью; возникает ротор скорости, определяющий в дальнейшем появление мелкомасштабных вихрей. Возникшая фаза есть катастрофа предыдущей.

Переход от ламинарного потока к потоку со стационарными завихрениями Re3. В качестве объекта рассматриваем трубку тока. На основании закона Хагена — Пуайзеля [6] энергию основного состояния мы можем записать в виде

Wo3 = 4p rlu ,

где r, l — радиус трубки тока и ее длина соответственно. Началом отсчета для возникающего возмущения ввиду новой связи является скорость u 2. Собственную энергию возмущения записываем в виде

W*(u – u 2) = p r2lr (u – u 2)2.

Значения Re3 и u 3 находим из равенства W* (u – u 2) = W03:

u 3 = 19,8 h /r r, Re3 = 19,8.

При нарушении энергетического порогового соотношения Re > Re3 перепад давления в трубке исчезает за счет ее закручивания. Возникают стационарные вихри с фиксированными центрами вращения. В свою очередь, на этой фазе происходит катастрофа — смена геометрического образа потока. Начинается подготовка к отрыву образовавшихся вихрей от локальных центров вращения.

Образование вихревой цепочки Кармана Re4 . Энергия основного состояния потока, формирующая цилиндрическое вихревое образование, записывается на основании известного закона для момента сил [5]:

,

— и равна:

Wo4 = 4p 2h lru .

Собственная кинетическая энергия вращающегося цилиндра равна:

где r, l — радиус и длина цилиндра соответственно. Из предельного равенства W* = Wo4 находим

u 4 = 43,06 h /r r , Re4 = 43,06.

В момент Re = Re4 вихрь есть одновременно часть локальной области и движущегося потока. При переходе Re > Re4 вихри отрываются от центров вращения и становятся частью потока.

Найденные числа Rej, j = , являются конкретным выражением исследуемого нами закона и находятся в согласии с соответствующими участками диапазона Re, указанными в [5].

2.4. “Слепые пятна” ФАР.

Фазируемые антенные решетки (ФАР) являются антеннами, принимающими и излучающими электромагнитные волны сверхвысоких частот (СВЧ), и представляют собой определенное множество элементарных излучателей (элементов), объединенных в одно целое с помощью системы СВЧ питания таким образом, что формируемый ФАР электромагнитный луч может перемещаться в свободном пространстве за доли секунды, обслуживая практически полусферу.

Отмечен [5] эффект исчезновения луча под определенными угловыми направлениями для некоторых конструкций ФАР. Эффект получил название “слепые пятна” ФАР и весьма нежелателен для радиолокации, где применяются сами ФАР.

В антенне возникает явление резонанса, когда СВЧ электромагнитная энергия отражается от апертуры к генератору волн. Для возникающей аномалии характерно, что в диаграмме направленности элемента в составе решетки возникают нулевые провалы под соответствующими “слепым пятнам” углами. В то же время для одиночного излучателя таких провалов нет. Природа эффекта считалась неизвестной.

Соответствующее энергетическое пороговое соотношение было получено нами ранее [8]:

где l — длина волны в свободном пространстве; j — азимут; q — угол, отсчитываемый от нормали к апертуре ФАР. Здесь параметр gи представляет собой относительную мощность, излучаемую синфазно и равномерно возбужденной площадкой S, приходящейся на один элемент в апертуре решетки, под углами q , j . Параметр gи характеризует основное состояние элемента.

Параметр g0 представляет собой относительную мощность, излучаемую одиночным элементом в токопроводящем экране под q , j , и характеризует собственную энергию возмущения элемента в составе решетки. Соотношение было апробировано с помощью результатов физического и вычислительного экспериментов, приведенных в известной литературе или полученных автором.

Удовлетворение неравенства определяет случай слабого взаимодействия излучателей в решетке: gэ » g0 , gэ — относительная мощность, излучаемая в направлении q , j элементом в составе решетки. В то же время нарушение этого неравенства в рассмотренных случаях приводило к появлению качественно нового типа электромагнитного поля и, как следствие, к появлению нулевых провалов в диаграмме направленности gэ (q , j ).Следует заметить также, что соотношение g0/gи выполняет роль коэффициента подобия для ФАР аналогично числам Re , Фr.

Благодарен М. М. Ганцевичу за полезное обсуждение по теме раздела и постоянные призывы к простоте изложения.

2.5. Скачки в поле упругих сил: машина Зимана.

Система [6] представляет собой плоский диск 3 с двумя пружинками (или резинками) и размещается на плоскости YOX (рис. 3). Диск может поворачиваться вокруг своей оси с центром в точке О1; концы пружинок 1, 2 размещены подвижным образом на периферии диска в точке а; второй конец пружинки 1 закреплен также подвижно на плоскости в точке F. Возмущение в систему вносит перемещение свободного конца пружинки 2 с координатами x, y.

Рис. 3

Машина Зимана была предложена ее автором в качестве модели в связи с исследованиями в области теоретической биологии, например, с анализом развития костных или мышечных тканей из одной и той же клеточной культуры. Известна ромбовидная область, определенная своими границами Bj , j = , где перемещение свободного конца c пружины 2 приводит к плавному изменению геометрии машины. Соответствующее пересечение границ области концом c вызывает скачок в состоянии системы. В частности, пересечение нижнего вертикального клюва y2 приводит к началу плавного вращения диска. В то же время приход в точку верхнего вертикального клюва y3 делает диск неподвижным при дальнейшем движении c вдоль оси Y. При пересечении концом c боковой границы, например в случае B4 (90° q 180° ), следует бросок диска из области q < 180° в область q > 180° .

Выделим в рамках закона сохранения и превращения энергии определенного вида бифуркационное множество Bj. Прежде определим особые точки на вертикальной оси yj , j = . Собственную энергию возмущения машины мы определяем как упругую энергию пружины 2, исключая из рассмотрения связь диска с плоскостью через посредство пружины 1. Мы сохраняем при этом все остальные физические и геометрические условия, ограничения, совокупность которых образует машину Зимана, и определяет в ней физические процессы. Очевидно, что этому отвечает случай нахождения точки a в крайнем нижнем положении q = 0 и перемещения конца c вдоль оси Y: х = 0. Для энергии мы можем записать в результате

где к2 — коэффициент упругости пружины 2; y = l2 — длина пружины при с = с(0, y); l02 — длина пружины 2 в спокойном состоянии. Первое основное состояние диска мы определяем как состояние его “жесткой” связи с плоскостью. Энергию этого состояния записываем в виде

где к1 — коэффициент упругости пружины 1; l* — длина пружины 1 при q = 0о ; l01 — длина пружины 1 в спокойном состоянии. Второе основное состояние определяем как состояние связи точки а с центром вращения диска о1. Энергию, характеризующую это состояние, мы определяем как абсолютную величину работы, затраченной на перемещение точки а из центра о1 как начала отсчета на периферию диска x = 0, y = 0 в поле упругой силы пружины 2:

,

где r — радиус диска. Третье основное состояние — состояние связи точки а с точкой x = 0, y = l** на плоскости. Соответствующую энергию Wo3 мы определяем как энергию собственно перехода точки а из положения x = 0, y = 0 в крайнее верхнее положение x = 0, y = l** в поле упругой силы пружины 1. Учитывая, что возникающие скачки вызывают смену связи диска с плоскостью, мы можем соответствующие энергетические пороговые соотношения записать в виде:

W*;

W*;

W*

откуда особые точки на вертикальной оси равны:

Для случая к1 = к2; l01 = l02; l* = 1,5l01; l** = 2,5l01, описанного в [9], имеем: y2 = 2l01, y3 = 3l01, что близко к значениям: y2 » 1,9l01, y3 » » 2, 96l01 , полученным в этой работе с помощью математической модели.

В то же время полученные нами решения, в отличие от представления [9], соответствуют общему случаю задания параметров к1,2; l*; l** . Преодоление y > y1 на вертикальной оси приводит к появлению чувствительности точки а к горизонтальным перемещениям конца с пружины 2. Преодоление точки x = 0, y = y2 приводит к началу вращения диска при малом отклонении конца с от вертикальной оси и его последующем движении вдоль этой оси: q = q (y) .

Окончательно границы Bj определяем, рассматривая движение конца с параллельно оси X: с = с (x — var, y — const). Собственную энергию возмущения определяем как энергию деформации x пружины 2, расположив эту пружину параллельно оси Х из точки а:

Энергия основного состояния в этом случае представляет собой упругую энергию, накопленную пружиной 1 при перемещении точки а из положения q = 0о в положение q :

ì (l1 – l*)2 , q £ 90о;

Wо1 = (к1/2) ´ í

î (l** – l1)2 , q ³ 90о.

В результате мы можем записать соответствующее энергетическое пороговое соотношение, дополнив его для определения необходимых параметров еще тремя уравнениями:

; (13б)

; (13в)

. (13г)

Здесь уравнения (13б), (13в) получены из геометрии машины (рис. 4), уравнение (13г) представляет запись закона сохранения энергии, адекватную фазе вращающегося диска: y > y2 . Задавая численные значения одного из параметров: x, y, l1 , l2 , q , например х, можно остальные параметры определить, решив совместно предельный вариант выражения (13а)

W* = Wо1

и уравнения (13б) — (13г). На рис. 4 приведены рассчитанная по этим формулам граница Bj и ее экспериментальные значения для частного случая. Можно отметить хорошее совпадение теории и эксперимента. Нетрудно также убедиться, что отношения вида

,

позволят однозначно задать состояния машины на соответствующих фазах ее эволюции, выполнив ту же роль, что и числа Фr , Re , g0/gи, Wy /Wо1 (12).

2.6. Математический маятник. Собственные частоты.

Математический маятник имеет длину l и массу m. Точка подвески совершает колебания вдоль вертикальной оси относительно среднего положения по