Реферат: Розрахунок типових задач з математичної статистики

Розрахунок типових задач з математичної статистики

математичної статистики" width="597" height="485" align="BOTTOM" border="0" />

Рис.4.1 Гістограма експериментального графіку функції щільності імовірності.


Аналізуємо обчислені оцінки математичного чекання та отриману гістограму.

Безперервна випадкова величина X приймає від’ємні значення. Отже, їй залишається бути розподіленою за нормальним (гаусовським) законом розподілення.

„Правило 3-х сігм” приблизно виконується (більшість значень дійсно лежить в інтервалі (-4.165276; 5.252514)). Відхилення практичної гістограми від теоретичної допоможе оцінити характеристика асиметрії та ексцес.

Таким чином, висуваємо гіпотезу H0 - випадкова величина X розподілена за нормальним законом розподілення.

Для обчислення теоретичних частот попадання випадкової величини X в коректований інтервал (з Таблиці 4.2) можна використовувати дві методики. Ми будемо застосовувати другу як більш теоретично обґрунтовану та правильнішу, а також точнішу.

Перша методика проста, але обчислення на її основі носять приблизний, оціночний характер. Перейдемо в обчисленнях від загальної до центрованої нормальної величини. Теоретично наша випадкова величина вважається розподіленою за загальним нормальним законом. Його функція щільності імовірності має в нашому випадку вигляд:


.


Перехід до центрованої нормальної величини:


.


Функція щільності імовірності для неї:


.


Таким чином


.


Імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) дорівнює


.


Дорівнює площі фігури, обмеженої графіком щільності імовірності, віссю 0X та прямими X=Xi, X=Xi+1.

Тобто можна приблизно вважати ії рівною добутку довжини інтервалу h на значення функції щільності імовірності в середині інтервалу (вищесказане є фактично двосторонньою оцінкою визначеного інтегралу):


,


де значення відповідає середині інтервалу


.


Знаючи теоретичну імовірність Pi, можна буде обчислити теоретичну кількість ni попадань випадкової величини X в і-й інтервал (Xi; Xi+1).

Але це буде дуже приблизна оцінка, бо коректування інтервалів розширило межі інтервалів та збільшило різницю між значеннями функції щільності імовірності в них. Точність цього методу обчислення теоретичних частот буде зростати при зменшенні інтервалу розбиття. Проте, це не можливо без порушення правила розбиття діапазону зміни значень випадкової величини в методі Пірсона. З загальних теоретичних відомостей імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) можна виразити через функцію щільності імовірності


,


або через функцію розподілення імовірності


.


Для нормованого нормального розподілення функція розподілення імовірності обчислюється через функцію Лапласа (сама функція Лапласа не є функцією розподілення імовірності):


.


Значення функції Лапласа затабульовані, або ж їх можна підрахувати за допомогою математичних пакетів прикладних програм. Хоча з досить високою точністю можна й самому підрахувати значення функції Лапласа, використавши наступну наближену формулу (підінтегральну функцію було розкладено в ряд та взято інтеграл):


.


Функція розподілення імовірності нормального розподілення пов’язана з функцією Лапласа наступним співвідношенням:


, якщо X>0,, якщо X<0.


Знову перейдемо в обчисленнях від загальної до центрованої нормальної величини:


.


Це зафіксовано у п’ятій строчці Таблиці 4.2. Тоді імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) можна виразити через функцію Лапласа так:


,


де значення - нормована нормальна випадкова величина, що відповідає Xi (результат занесено в шосту строчку Таблиці 4.2). Знаючи теоретичну імовірність Pi0, можна буде обчислити теоретичну кількість ni0 попадань випадкової величини X в і-й інтервал (Xi; Xi+1) з Таблиці 4.2 (і результат занесено у відповідну сьому строчку Таблиці 4.2).


Таблиця 4.1 Інтервали розбиття

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
(-5; - 4) (-4; - 3) (-3; - 2) (-2; - 1) (-1; 0)

(0;

1)

(1;

2)

(2;

3)

(3;

4)

(4;

5)

(5;

6)

1 2 1 14 18 22 25 15 1 0 1
0.01 0.02 0.01 0.14 0.18 0.22 0.25 0.15 0.01 0 0.01

Таблиця 4.2 Розраховані імовірності

I 1 2 3 4 5
(Xi; Xi+1) (-5; - 1) (-1; 0)

(0;

1)

(1;

2)

(2;

6)

ni 18 18 22 25 17

0.18 0.18 0.22 0.25 0.17
(ui; ui+1) (2.8395; 0.2969) (0.2969; 0) (0; 0.2969) (0.2969; 0.9322) (0.9322; 3.4752)
Pi0 0.3798 0.1179 0.1179 0.2059 0.1760
ni0 38 12 12 21 18

Обчислили значення критерію збіжності Пірсона. В нашому випадку він дорівнюватиме:


.


Робимо висновок про збіжність закону розподілення практичних даних та закону розподілення, що відповідає висунутій гіпотезі H0.

Кількість ступенів свободи k = s - 1 - r, де s=5 - число інтервалів розбиття діапазону значень випадкової величини X, r=2 - число параметрів розподілення, що були оцінені за даними вибірки і використовувалися при підрахункові теоретичних ймовірностей (для нормального розподілення це математичне чекання та середньоквадратичне відхилення), дорівнює k = 5 - 3 =2.

За таблицею розподілення з k ступенями свободи знаходимо при α=0.001 (більш точні дані відсутні). Тобто практичні дані узгоджуються з гіпотезою H0 з імовірністю більш ніж 0.999.

Висока імовірність узгодженості практичних даних з теоретичними дає підставу перевірити та оцінити потужність критерію (імовірність прийняття альтернативних гіпотез).

Висновки


У виконаній курсовій роботі наведено огляд теоретичних відомостей з курсу Теорії ймовірностей та математичної статистики, визначено алгоритм виконання типових завдань з Теорії ймовірностей. І також виконано розрахунок типової задачі з визначення законів розподілення випадкових величин.

Список літератури


В.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М. - Наука, 1988.

В.П. Чистяков. Курс теории вероятностей. М. - Наука, 1982.

А.А. Боровков. Теория вероятностей.М. - Наука, 1988.

Б.А. Севастьянов. Курс теории вероятностей и математической статистики.М. - Наука, 1982.

Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций (под редакцией А.А. Свешникова).

И.Н. Коваленко, А.А. Филлипов. Теория вероятностей и математическая статистика. М. - Высшая школа, 1988.

Е.С. Вентцель. Теория вероятностей. М. - Наука, 1969.

И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев - Высшая школа, 1979.

И.И. Гихман, А.В. Скороход. Введение в теорию случайных процессов.М. - Наука, 1969.

А.Т. Гаврилин, О.Н. Репин, И.П. Смирнов. Задачи по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Методическая разработка для студентов дневного отделения радиофизического факультета. Горький, ГГУ, 1983.

Г.И. Агапов. Задачник по теории вероятностей. М. - Высшая школа, 1994.

Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965.

Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.

Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2001.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, Т.2, 1984.