Типовой расчет по теоретической механике

Задание Д-1

Дано:

Найти: и уравнение траектории на участке BC.

Решение:

Рассмотрим движение тела принимаемого за материальную точку на участке AB .

Покажем силы действующие на тело: - сила тяжести, - нормальная реакция поверхности, - сила трения.

Знаем:

В проекциях на оси и имеем:

Так как тело движется вдоль оси , то проекции перемещения скорости и ускорения на ось равны 0, тогда уравнение принимает вид:

, откуда

Знаем:

У нас:

Учтём в уравнение

или

, где - постоянная величина

Интегрируем уравнение

или

т.е.

Для определения постоянных интегрирования и запишем начальные условия движения тела на участке AB. При в положении А имеем:

Подставим начальные условия в уравнения и получим:

, откуда

Запишем уравнение и с учётом постоянных интегрирования и

В положении B, при имеем:

Запишем уравнение при

Рассмотрим движение тела на участке BC , T – время движения тела от B до C

Знаем:

В проекциях на оси имеем:

или

, т.е.

или

или , т.е.

Для определения постоянных интегрирования запишем начальные условия движения на участке BC.

При в положении B:

Подставим эти начальные условия в уравнения :

Запишем уравнения с учётом найденных постоянных интегрирования:

В положении С при :

Из выражаем t:

Подставим в :

Ответ:

Задание Д-10-2

Дано:

Определить:

Решение:

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

где и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

– сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное;

– сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении;

т.к. система состоит из абсолютно твёрдых тел, соединяющих нерастяжимыми нитями и стержнями, то , т.к. в начальном положении системы находится в покое, то ;

Тогда уравнение принимает вид:

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении:

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно:

Кинетическая энергия блока 2, совершающего вращательное движение:

Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение:

т.к.

тогда формула приобретает следующий вид:

Определим сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, не заданном перемещением:

Работа силы трения :

Работа силы тяжести :

Определим, на кокой угол повернётся каток 3 при прохождении грузом 1 расстояния S:

Работа пары сил сопротивления качания тела 3:

где

Силы (т.к. сила приложена в мгновенном центре скоростей) работы не совершают.

Поэтому

Приравниваем значения T и :

Задание К-1

Тема: «Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её движения»

Дано:

Решение:

Уравнения движения (1) и (2) являются параметрическими уравнениями траектории движения точки М. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (1) и (2).

Из уравнения (2): подставим в уравнение (1), получим

Это уравнение параболы.

Построим параболу по точкам, значения которых приведены в таблице:

y	-10	-8	-6	-4	-2	0	2	4	6	8	10
x	3,531	2,979	2,551	2,245	2,061	2	2,061	2,245	2,551	2,979	3,531

Найдём положение точки М при t=0

Это точка (2;0)

Найдём положение точки М при

Это точка (2,75;-7)

Модуль скорости где

при поэтому покажем из в направлении положительного отсчёта оси x.

поэтому покажем из точки в отрицательном направление оси y. Итак, при

Масштаб : 1 см - 2 см/с

Определяем ускорение, которое имеет точка, движущаяся по параболе.

где поэтому покажем в направлении положительного отсчёта оси x их точки

Аналогично

Итак, при

Масштаб : 1 см - 2 см/

Знаем: при

значит движение точки ускоренное, поэтому покажем в сторону вектора

Полное ускорение откуда

при

покажем из точки по нормали к траектории.

Знаем: где - радиус кривизны траектории в точки

при

Из точки вдоль нормали n отложим и получим точку – центр кривизны параболы в точке

Координаты точки, а также её скорость, ускорение и их проекции на координатные оси для приведены ниже

координаты, см	скорость, см/с	ускорение, см/	радиус кривизны, см
x	y
2,75	-7	3	-14	14,32	6	0	6	1,257	5,867	34,95

Задание К-4

Дано: ОА=35 см, АВ=65 см, r=15 см,

Найти:

Решение:

Ответ:

т. Р – полюс звена 2

т. Р` – полюс звена 3

Задание С-7-22

Тема: Определение реакций опор твёрдого тела.

Дано:

Определить: все реакции опор конструкции (в нашем случае реакции цилиндрических шарниров А и В и стержня CD)

Решение:

Предположим, что реакции подшипников будут направлены следующим образом реакция стержня вдоль DC кверху.
Спроецируем все силы системы на соответствующие оси координат.