Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи

Розрахунково-пояснювальна записка

До курсової роботи з основ теорії систем та системного аналізу:

Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи

Одеса - 2010

1. Еквівалентні та апроксимаційні перетворення моделі

1.1 Нелінійна модель агрегату

На прикладі розглянемо конкретну технічну систему - змішувальний бак:

Рисунок 1. Модель бака.

F1,F2,F - витрати рідини на притоці і витоці системи, м3/с;

C1,C2,C - концентрація на витоці і притоці системи, кмоль/м3;

h - рівень рідини в бакові, м; S - площа бака, м2;

V - об'єм рідини в бакові, м3;

Запишемо рівняння системи в стаціонарному (встановленому) стані, коли притік дорівнює витоку (рівняння матеріального балансу):

F10+F20-F0=0; C1,

де індекс 0 означає встановлений стан.

Записавши умови балансу кінетичної і потенціальної енергії на виході із бака

,

де

p - густина рідини, кг/м3;

w - швидкість витоку, м/с;

q - прискорення вільного падіння,q=9.81 м/с2;

і припускаючи, що

d - діаметр вихідного трубопроводу, м.

Одержимо:

чи, відповідно,

, де

k - коефіцієнт.

При зміні витрат у системі відбувається накопичення речовини і перехід до нового встановленого стану. Цей перехідний процес описується диференціальними рівняннями

де dv/dt - приріст об'єму рідини, - приріст маси рідини.

Наведемо цю систему у стандартному вигляді:

Позначимо:

− зміна у часі відхилення витрати від номінального щодо першого каналу

− теж щодо другого каналу

− зміна у часі відхилення об'єму від номінального у бакові;

− відхилення концентрації від номінальної;

- зміна втрати на виході;

- зміна концентрації на виході.

1.2 Нелінійна модель в стандартній формі

Розглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1=0,03; u2=0.

Позначивши , рівняння бака запишемо у вигляді системи:

Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються

З урахуванням того, що запишемо:

,

чи підставляючи

Виразимо

Підставляємо та

Таблиця 1.

y1	0.141	0.142	0.143	0.144	0.145	0.146	0.147	0.148	0.149	0.150	0.151
t, с	0	1.5	3.188	5.116	7.357	10.026	13.315	17.585	23.643	34.072	68.958

1.3 Отримання квадратичної моделі

Рівняння квадратичної моделі має вигляд:

Матриці з підстановкою номінального режиму:

1.4 Запис білінійної моделі

1.5 Лінеаризована модель

Лінеаризуємо залежність , розклавши її на ряд Тейлора.

З урахуванням раніше викладеного запишемо:

; (т.к ), где ;

Припустивши у випадку остатку . Тоді підставивши похідну , отримаємо

;

В результаті маємо

Представивши цю систему в матричній формі:

Тоді матриці А і В запишуться в вигляді

,

Для визначення матриці С необхідно встановити зв'язок між векторами x и y. Оскільки , , то

; , то

Тоді

Система буде мати вигляд

Коефіцієнти моделі системи:

1.6 Модель в дискретному часі

система в дискретному часі має вид:

dt=14,89 c.

Таким чином

Задавшись , , тоді

Результати подальших ітерацій представлено в таблиці:

Таблиця 3.

Збурення

Реакція виходу системи y (t)

u1=0 u2=0,01	y1 y2	0 0	0,003298 0,00452	0,005299 0,00469	0,00773 0,006183	0,006512 0,006795	0,00725 0,00702	0,00769 0,00713
час t, с	0	14,894	29,787	44,681	59,574	74,468	89,362

1.7 Перетворення моделі у форму Ассео

1.8 Обчислення МПФ системи

; ; ; n=2; i=1;

Таким чином

1.9 Структурні схеми системи в початковій формі, формі Ассео, ЗЗП

Рисунок 2. Структурна схема системи в початковій формі.

Рисунок 3. Структурна схема системи в формі Ассео.

Рисунок 4. Структурна схема системи у зовнішньозв'язанному поданні.

1.10 Лінеаризована модель в непереривному і дискретному часі з датчиками і ВМ

a) в непереривному часі

Рисунок 5. Структурна схема системи в неперервному часі з датчиками і ВМ.

б) в дискретному часі

Рисунок 6. Структурна схема системи в дискретному часі з датчиками і ВМ.

1.11 Умова правомірності децентралізації

Система в формі Ассео:

, ,,

Спектральна норма матриці , тобто