Имеет ли задача Коши u½y
= x² = 1, (Ñu)2
= 1 гладкое решение в области y ³ x2? В области y £ x2?
65.
Найти среднее значение функции ln r на
окружности (x – a)2 + (y – b)2
= R2 (функции 1/r на
сфере).
66.
Решить задачу Дирихле
Du = 0
при x2
+ y2 < 1;
u = 1
при x2
+ y2 = 1, y > 0;
u = –1
при x2
+ y2 = 1, y < 0.
67.
Какова размерность пространства непрерывных при x2
+ y2 ³ 1 решений задачи
Du = 0 при
x2
+ y2 > 1;
¶u
¶n
= 0 при
x2
+ y2 = 1?
68.
Найти
inf
òò
(
¶u
¶x
)
2
+
(
¶u
¶y
)
2
dxdy
x² + y² £ 1
по C¥-функциям u, равным 0 в 0 и 1 при x2
+ y2 = 1.
69.
Доказать, что телесный угол, опирающийся на заданный
замкнутый контур, – гармоническая вне контура функция вершины угла.
70.
Вычислить среднее значение телесного угла, под которым
виден круг x2 + y2 £ 1, лежащий в плоскости z = 0, из точек сферы x2
+ y2 + (z – 2)2 = 1.
71.
Вычислить плотность заряда на проводящей границе полости x2
+ y2 + z2 = 1, в которую помещен
заряд q = 1 на расстоянии r от центра.
72.
Вычислить в первом приближении по e влияние сжатия Земли (e » 1/300) на гравитационное поле Земли на расстоянии Луны
(считая Землю однородной).
73.
Найти (в первом приближении по e) влияние несовершенства почти сферического конденсатора R
= 1 + ej(j, q) на его емкость.
74.
Нарисовать график u(x,1), если 0 £ x £ 1,
¶u
¶t
=
¶2u
¶x2
,
u|t = 0 = x2,
u|x² = x = x2.
75.
Вследствие годовых колебаний температуры земля в городе N
промерзает на глубину 2 м. На какую глубину она промерзла бы вследствие
суточных колебаний такой же амплитуды?
76.
Исследовать поведение при t ® + ¥ решения задачи
ut + (u sin x)x = euxx
,
u|t = 0 = 1,
e << 1.
77.
Найти собственные числа оператора Лапласа D º div grad на сфере радиуса R в евклидовом
пространстве размерности n и их кратности.
78.
Решить задачу Коши
¶2A
¶t2
= 9
¶2A
¶x2
– 2B,
¶2B
¶t2
= 6
¶2B
¶x2
– 2A,
A|t = 0 = cos x,
B|t = 0 = 0,
¶A
¶t
t = 0
=
¶B
¶t
t = 0
= 0.
79.
Сколько решений имеет краевая задача
uxx + λu
= sin x,
u(0) = u(π)
= 0?
80.
Решить уравнение
1
ò
0
(x + y)2
u(x) dx = λu(y) + 1.
81.
Найти функцию Грина оператора d 2/dx2
– 1 и решить уравнение
+ ¥
ò
– ¥
e– | x – y |
u(y) dy = e–x².
82.
При каких значениях скорости c уравнение ut = u – u2 + uxx имеет решение в виде бегущей волны u = φ(x
– ct), φ(–∞) = 1, φ(∞) = 0, 0 ≤ u ≤
1?
83.
Найти решения уравнения ut = uxxx + uux, имеющих вид бегущей волны u = φ(x – ct),
φ(±∞) = 0.
84.
Найти число положительных и отрицательных квадратов в
нормальной форме квадратичных форм
å
1 ≤ i < j ≤
n
(xi – xj)2
и
å
1 ≤ i < j ≤
n
xi
xj .
85.
Найти длины главных осей эллипсоида
å
1 ≤ i ≤ j ≤
n
xi
xj = 1.
86.
Через центр куба (тетраэдра, икосаэдра) провести прямую
так, чтобы сумма квадратов расстояний до вершин была: а) минимальной, б)
максимальной.
87.
Найти производные длин полуосей эллипсоида x2
+ y2 + z2 + xy + yz
+ zx = 1 + εxy по ε при ε = 0.
88.
Какие фигуры могут получиться при пересечении
бесконечномерного куба { |xk| £ 1, k = 1, 2, ...} двумерной плоскостью?
89.
Вычислить сумму векторных произведений [[x, y],
z] + [[y, z], x] + [[z, x], y].
90.
Вычислить сумму коммутаторов матриц [A, [B,
C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]],
где [A, B] = AB – BA.
91.
Найти жорданову нормальную форму оператора ed/dt в пространстве квазимногочленов {eltp(t)}, где
степени многочленов p меньше 5; оператора adA, B ® [A,
B] в пространстве (n × n)-матриц B, где A
– диагональная матрица.
92.
Найти порядки подгрупп группы вращений куба и ее
нормальные делители.
93.
Разложить пространство функций, заданных в вершинах куба,
на инвариантные подпространства, неприводимые относительно группы а) его
симметрий,
